博士家园

发表于 2019-3-10 15:49:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

1. 设 $a_i>0(i=1,2\cdots,n$, 求证
\[3\sum_{k=1}^na_k^2+\sum_{cyc}\frac{a_1^2(a_1+a_2)^4(a_1+a_3)^4+a_2^2(a_2+a_1)^4(a_2+a_3)^4+a_3^2(a_3+a_1)^4(a_3+a_2)^2}{(a_1+a_2)^4(a_2+a_3)^4(a_3+a_1)^4}\geqslant\frac{3n}{2}\]


2. 设 $x_0=1$, $x_{n+1}^2=x_2+2,n\geqslant1$, 求
\[\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{\pi^2}{9}+4^n(x_n-2)\right)\]


3. 设 $f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ 且均是连续可导的, 求证: 存在 $c$ 使得
\[\big((c-a)f'(c)+f(c)\big)\int_c^bg(x)\,\mathrm{d}x+\big((b-c)g'(c)-g'(c)\big)\int_a^cf(x)\,\mathrm{d}x=(2c-a-b)f(c)g(c)\]


4. 计算
\[\int_0^{\sqrt{3}}\frac{\ln(1+\sqrt{3}x)}{\cos^2x}\,\mathrm{d}x\]


5. 求所有三阶实矩阵 $A$, 使
\[A^3+A^2+A=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}\]


6. 设 $A$ 是二阶实矩阵, 求证
\[\frac{8}{3}\det(A^2+A+I_2)\geqslant\big(1-\det(A)\big)^2+\big(1+\mathrm{Tr}(A)\big)^2\]


7. 计算
\[\int_{\frac{1}{2}}^{+\infty}\int_{\frac{1}{2}}^{+\infty}\int_{\frac{1}{2}}^{+\infty}\frac{\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z}{\big(242x^5-(y-1)^5-(z+1)^5\big)\big(242y^5-(z-1)^5-(x+1)^2\big)\big(242z^5-(x-1)^5-(y+1)^5\big)}\]

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发表于 2019-3-11 15:32:25 | 显示全部楼层
      什么山大附幼?好复杂的题目啊。
发表于 2019-3-12 13:02:43 来自手机 | 显示全部楼层
山大考博不是也考数分高代吗
发表于 2019-3-13 16:31:02 | 显示全部楼层
附幼是什么情况?

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