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[数学分析] 一道求极限试题

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发表于 2019-1-27 12:36:30 | 显示全部楼层 |阅读模式
一道北京大学数学分析I中考试题:

$$\lim_{n \to \infty} \left ( \frac{\sin 2x}{2(2+\sin 2x)}+\frac{\sin 3x}{3(3+\sin 3x)}+\cdots +\frac{\sin nx}{n(n+\sin nx)} \right ).$$




发表于 2019-1-31 17:21:01 来自手机 | 显示全部楼层
如果是第一册的话课本上倒是有道原题,否则是函数项级数了。

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发表于 2019-2-5 16:36:15 | 显示全部楼层
Qqq 发表于 2019-1-31 17:21
如果是第一册的话课本上倒是有道原题,否则是函数项级数了。

这个问题如果是要问我们

\begin{equation*}
\frac{\sin 2x}{2(2+\sin 2x)} + \frac{\sin 3x}{3(3+\sin 3x)} + \cdots + \frac{\sin nx}{n(n+\sin nx)}
\end{equation*}
收敛的话就很容易了。

因为
\begin{equation*}
\bigg| \frac{\sin nx}{n(n+\sin nx)} \bigg| \le \frac{1}{n(n-1)}
\end{equation*}

而后者作为无穷级数收敛所以级数收敛。
 楼主| 发表于 2019-2-14 10:15:15 | 显示全部楼层
Qqq 发表于 2019-1-31 17:21
如果是第一册的话课本上倒是有道原题,否则是函数项级数了。

请问这是哪本书,有没有解法提示?
发表于 2019-2-15 17:07:10 来自手机 | 显示全部楼层
伍胜健的数分一那几个小问都是在练习柯西收敛准则不是

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