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[高等代数] 求助几道考研题

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发表于 2019-1-9 18:43:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
1.设函数$f(x,y)$在$\mathbb{R}^2$上二阶连续可微,满足$f|_{\partial\Omega}=0,\partial\Omega=\{(x,y)|x^2+y^2=1\}$及$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x,0)=1$.证明:存在一点$(x_0,y_0)$,使得$\Delta f|_{(x_0,y_0)}\ge 0$.其中$\Delta$为拉普拉斯算子.

2.某阅览室里共有$n$种图书,每种图书至少有$n+1$本,有$n+1$个读者在此读这些书,并设每人至少读一本.证明:待他们读完后,必能在他们中找出甲、乙两组人,使甲组读过图书种类与乙组读过图书种类相同.

3.设$V$为$n$维复线性空间,$EndV$为$V$上所有复线性变换构成的线性空间,又$A,B$为$EndV$的子空间,且$A\subseteq B$。令$$M=\{x\in EndV|xy-yx\in A,\forall y \in B\}$$假定$x_0\in M$满足条件$tr(x_0y)=0,\forall y \in M$。证明:$x_0$必为幂零线性变换.
发表于 2019-1-12 13:26:46 来自手机 | 显示全部楼层
第一问,如果在圆内达到最小值,那么 Laplacian 在该点非负。
否则,函数在圆内部都是非负的。又由$x$ 轴无穷远处大于零的条件,故沿着 $x$ 轴方向,函数限制在其上,在 $(1,0)$ 处取到极小值,再把 Lapacian 算子写成极坐标形式,分法向与径向,由于在单位圆上恒为零,于是切向与径向综合起来的在 $(1,0)$ Lapacian 非负。
大概这个思路,看能否写成一个严谨的证明。
发表于 2019-1-12 14:37:31 来自手机 | 显示全部楼层
上面想法有误,再想想
 楼主| 发表于 2019-1-19 12:06:46 | 显示全部楼层
      如果在单位圆内达到最小值,那么 拉普拉斯在该点非负,这个我也懂。但关键的是未必在单位圆内取得最小值。

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