博士家园

发表于 2019-1-17 06:36:56 来自手机 | 显示全部楼层
谢谢你指出我的错误!只有等大神来解了。

我原来的想法是通过排序产生一个次序,觉得可能这样后好弄些,不过我想错了。

抱歉抱歉,没有帮到你,还浪费了你的时间
发表于 2019-1-17 12:39:27 来自手机 | 显示全部楼层
做一个 4 题.
易知
$$
\newcommand{\Abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert}
0 \leqslant \varlimsup_{n \to +\infty} \Abs {
\int_0^1 (f - f_n)
} = \varlimsup_{n \to +\infty} \Abs {
\int_0^1 \frac {nf(x)-[nf(x)]}n
} \leqslant \varlimsup_{n \to +\infty}
\int_0^1 \frac 1n
= \varlimsup_{n\to +\infty}\frac 1n = 0,
$$
其中用到了 $0 \leqslant y - [y] <1$. 故结论成立.


感觉没怎么用到连续的条件……而且是不是想简单了……
 楼主| 发表于 2019-1-19 12:09:35 | 显示全部楼层
       这个第4题,证明$f_n$一致收敛于$f$,这个我当然会。但关键的是$f_n$就一定会可积吗?这题的关键在于:$f_n$为何可积?或者换个问法:连续函数进行取整后一定是可积函数吗?
 楼主| 发表于 2019-1-19 12:10:33 | 显示全部楼层
ZhaoYing 发表于 2019-1-17 06:36
谢谢你指出我的错误!只有等大神来解了。

我原来的想法是通过排序产生一个次序,觉得可能这样后好弄些,不 ...

       没事,你不要客气!很感谢你了!
发表于 2019-1-19 14:06:41 | 显示全部楼层
laibaofeng 发表于 2019-1-19 12:09
这个第4题,证明f_n一致收敛于f,这个我当然会。但关键的是f_n就一定会可积吗?这题的关键在 ...

第 4 题我也凑一下热闹。
由于当 $n$ 固定时,
\[ f_n(x)=\frac{k}{n},\frac{k}{n}\leq f(x)<\frac{k+1}{n}\]
于是,我们联想到 Lebesgue 积分分割值域的这个直观。
由于 $f$ 连续, $f$ 在任意区间可积分。又不妨设 $-N < f(x)<M$,其中 $N,M \in \mathbb{N}$,于是,我们用步长为 $\frac{1}{n}$ 的区间分割这个值域,得到阶梯函数。
\begin{align}
0\geq \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x-\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x &=\sum_{k}\int_{\frac{k}{n}\leq f(x)<\frac{k+1}{n}} \left(f_n(x)-f(x)\right)\,\mathrm{d}x\\
&=\sum_{k}\int_{\frac{k}{n}\leq f(x)<\frac{k+1}{n}} \left( \frac{k}{n}-f(x)\right)\,\mathrm{d}x\\
&\geq\sum_{k}\int_{\frac{k}{n}\leq f(x)<\frac{k+1}{n}} \left( -\frac{1}{n}\right) \,\mathrm{d}x\\
&=-\frac{1}{n}
\end{align}




本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册

x
 楼主| 发表于 2019-1-19 21:20:44 | 显示全部楼层
      哎,这题的关键在于:$f_n$一定能可积吗?至于极限,不需要你们操心,我自己也会。
发表于 2019-1-20 19:57:43 | 显示全部楼层
laibaofeng 发表于 2019-1-19 21:20
哎,这题的关键在于:f_n一定能可积吗?至于极限,不需要你们操心,我自己也会。 ...

有界闭区间上连续函数取整后一定黎曼可积,证明要用到一致连续。

不过可积函数取整后就不对了
发表于 2019-1-20 20:22:35 | 显示全部楼层
laibaofeng 发表于 2019-1-19 21:20
哎,这题的关键在于:f_n一定能可积吗?至于极限,不需要你们操心,我自己也会。 ...

是的,这应该是一个错题。

由于连续函数的复杂性,只能保证上面分割是(至多)可数个, $f_n$ 是一个定义在这(至多)可数多个左闭右开区间上的阶梯函数,由于 $f_n$ 有界, $f_n$ 定义在有限区间上,因此这种阶梯函数的 Lebesgue 是可积,但不见得是 Riemann  可积的。

上述证明全部换成 Lebesgue 积分,原来的题目也换成 Lebesgue 积分,就可以通过。


发表于 2019-1-21 11:53:34 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2019-1-20 20:22
是的,这应该是一个错题。

由于连续函数的复杂性,只能保证上面分割是(至多)可数个, f_n 是一个定 ...

方法一:
取整函数在有限区间只有有限多个不连续点。

连续函数 $g$ 在 $[0,1]$ 上有界 ,它的值域是有限区间,于是复合函数 $[g(x)]$ 只有有限多个不连续点。从而 $[g(x)] $ 可积分。

方法二:

对连续函数 $f$,它的原像 $f^{-1}(A,B) \cap [0,1]$ 只有有限多个区间???

 楼主| 发表于 2019-1-22 11:12:44 | 显示全部楼层
ZhaoYing 发表于 2019-1-20 19:57
有界闭区间上连续函数取整后一定黎曼可积,证明要用到一致连续。

不过可积函数取整后就不对了 ...

       你说“有界闭区间上连续函数取整后一定黎曼可积,证明要用到一致连续”,这个对不对?你证明给我看看。口说无凭吧。

关于我们|手机版|博士家园 ( 沪ICP备15045866号 )(沪公网安备沪公网安备 31011702001868号) 

GMT+8, 2019-11-21 18:57 , Processed in 1.125000 second(s), 12 queries , Gzip On.

Powered by Discuz! X3.2

© 2004-2019 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表