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[考研真题] 2019北大高等代数——回忆版

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发表于 2018-12-25 08:29:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
这个是回忆的,所以可能有错误。如果有网友发现错误 ,请给我留言或直接回复,我会进行修改的,谢谢大家。

1.$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$是$\textbf{R}^n$上线性无关的列向量组,$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$是$\textbf{R}^s$上线性无关的列向量组.若有实数$c_{ij}$使得
\[\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{t}c_{ij}\alpha_i\beta_j^{T}=\textbf{0}.\]
证明系数$c_{ij}$全为0.

2.实数域上的3阶方阵$A$满足$AA^T=A^TA$,且$A\neq A^T$.
(1)证明存在正交矩阵$P$使得
\[P^TAP=
\begin{pmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & c \\
0 & -c & b \\
\end{pmatrix},\]
其中$a,b,c$都是实数.
(2)若$AA^T=A^TA=I_3$,且$|A|=1$.证明1是$A$的一个特征值,且求属于特征值1的特征向量.

3.$A$是复数域上的一个$n$阶方阵,$A$的特征值为$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$.定义$M_n(\textbf{C})$上的变换$T$为
\[
\begin{split}
  T:M_n(\textbf{C})&\longrightarrow M_n(\textbf{C})\\
                  B&\longmapsto AB-BA
\end{split}
\]
(1)求变换$T$的特征值;
(2)若$A$可对角化,证明$T$也可对角化.

4.$A$为$n$级实对称矩阵,令
\[S=\{X|X^TAX=0,X\in\textbf{R}^n.\}\]
(1)求$S$为$\textbf{R}^n$中的一个子空间的充要条件并证明;
(2)若$S$为$\textbf{R}^n$中的一个子空间,求$\dim S$.

5.给定任意实数$\varepsilon>0$,证明对任意的$n$阶实矩阵$A$,存在一个$n$阶对角矩阵$D$,每个对角元为$\varepsilon$或$-\varepsilon$中的一个,使得
\[|A+D|\neq0.\]

6.给了空间中两条异面直线的方程(不记得了),求两条直线的距离和公垂线.

7.在空间中有三条直线两两异面,且不平行于同一个平面,证明空间中与这三条直线都共面的直线集是一个单叶双曲面.

8.证明平面与双曲抛物面的交线不可能是一个椭圆.

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