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[考研真题] 2019北大数学分析--回忆版

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发表于 2018-12-24 19:25:38 | 显示全部楼层 |阅读模式
1.讨论数列\[a_n=\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{2+\cdots+\sqrt[n]{(n-1)+\sqrt[n]{n}}}}\]的敛散性.

2.$f(x)$在$[a,b]$上连续且$f(a)=f(b)$.证明:存在数列$x_n\neq y_n,\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}(x_n-y_n)=0$且$f(x_n)=f(y_n),\forall n\in\textbf{N}^{\ast}$.

3.证明\[\sum_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^k\frac{1}{k+m+1}=\sum_{k=0}^{m}(-1)^kC_m^k\frac{1}{k+n+1}.\]

4.求\[\int^1_0\sum_{n=1}^{+\infty}x^n\cdot\ln x dx.\]

5.若$\prod\limits_{n=1}^{+\infty}(1+a_n)$收敛,则$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$收敛吗.命题为真请证明,为假举反例.

6.数列$\{x_n\}$有界,且$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}(x_{n+1}-x_n)=0$,\[\varliminf_{n\rightarrow+\infty}x_n=l,\varlimsup_{n\rightarrow+\infty}x_n=L.\]证明$\forall c\in[l,L],$都有子列收敛于$c$.

7.$f(x)$定义在$[0,+\infty)$若$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)$存在,且$f''(x)$有界.证明$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f'(x)=0$.

8.$p>0$,讨论级数\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin\frac{n\pi}{4}}{n^p+\sin\frac{n\pi}{4}}\]的绝对敛散性和条件敛散性.

9.求$f(x)=\dfrac{2x\sin\theta}{1-2x\cos\theta+x^2}$在$x=0$的Taylor展开式,并求$\int_{0}^{\pi}\ln(1-2x\cos\theta+x^2)d\theta$.

10.证明$\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}d x=\dfrac{\pi}{2}$,并求$\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin^2(xy)}{x^2}d x$.

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