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[数学分析] 一道关于函数列的题目

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发表于 2018-11-2 12:35:09 | 显示全部楼层 |阅读模式
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定义函数列$\left\{f_n\right\}:\lbrack0,1)\rightarrow\mathbb{R}$是连续可微的函数,且满足关系式:
$$f_1=1;f'_{n+1}=f_nf_{n+1}\left(x\in\left(0,1\right)\right);f_{n+1}\left(0\right)=1$$
证明:对任意的$x\in\lbrack0,1),\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n\left(x\right)$存在,并确定它的极限函数.

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发表于 2018-11-2 12:35:10 | 显示全部楼层
Vanuatu 发表于 2018-11-17 11:59
后面还是没有说清楚,有点没看懂



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 楼主| 发表于 2018-11-6 23:32:18 | 显示全部楼层
(给自己顶一顶)   内心十分期待看到H...老师的解答  因为很有条理
发表于 2018-11-15 09:53:35 | 显示全部楼层
Vanuatu 发表于 2018-11-6 23:32
(给自己顶一顶)   内心十分期待看到H...老师的解答  因为很有条理


修改编辑太麻烦,简要写下思路。

令$\varphi_n(x)=f_{n+1}(x)e^{-\int_0^x f_n(t) dt}$.由此得到
\begin{align*}
f_{n+1}(x)=e^{\int_0^x f_n(t) dt},~~\forall x\in [0,1)\tag{1}
\end{align*}

再用数学归纳法证明
\begin{align*}
f_n(x)\leqslant f_{n+1}(x)<\frac{1}{1-x},~~\forall x\in [0,1)
\end{align*}
从而极限存在,最后,证明
\begin{align*}
\Big|\frac{1}{1-x}-f_{n+1}(x)\Big|\leqslant x \Big|\frac{1}{1-x}- f_n(x)\Big|,~~\forall n\geqslant 2
\end{align*}
从而由压缩映像原理知$\lim\limits_{n\to \infty}f_n(x)=\frac{1}{1-x}$.

 楼主| 发表于 2018-11-17 11:59:55 | 显示全部楼层
mbfkk 发表于 2018-11-15 09:53
修改编辑太麻烦,简要写下思路。

令\varphi_n(x)=f_{n+1}(x)e^{-\int_0^x f_n(t) dt}.由此得到

后面还是没有说清楚,有点没看懂
发表于 2019-1-9 12:34:15 | 显示全部楼层

压缩映射原理用错了吧, 构造的压缩映射是什么?

最后还是不需要动用压缩映射,$x$ 暂时固定为 $x_0$,在
\[
f_{n+1}(x_0)=\exp(\int_{0}^{x_0}f_{n}(t)\,\mathrm{d}t)
\]
极限号在定积分中可通过,立即就有
\[
f(x_0)=\exp(\int_{0}^{x_0} f(t)\,\mathrm{d}t)
\]
于是
\[
f(x)=\exp(\int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t)
\]
因此
\[
f'=f^2
\]
\[
f^{-2}f'=1
\]
积分就可以得到 $f(x)=\frac{1}{1-x}

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