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[高等代数] 多项式在有理数域上不可约

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发表于 2018-10-29 12:48:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
证明$f(x)=px^4+2px^3-px+3p-1,p$是素数,在有理数域上不可约。
发表于 2018-10-30 13:17:37 | 显示全部楼层
Let $x=1/t$ and use the Eisenstein's criterion.
发表于 5 天前 | 显示全部楼层
http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=38452
试证:设$p$是素数,则多项式$f(x)=px^4+2px^3-px+3p-1$在有理数域上不可约。

证明:分两步来证

(1)$f(x)$没有一次有理因式

反证,假设$f(x)$有一次有理因式$x-\frac{b}{a}(a,b\in\mathbb{Z},a>0,(a,b)=1)$,则$f\left(\frac{b}{a}\right)=0$,于是就有
\[pb^4+2pab^3-pba^3+(3p-1)a^4=0\]

则$p|(3p-1)a^4$,注意到$(p,3p-1)=1$,所以就有$p|a$,同理$a|pb^4$,注意到$(a,b)=1$,所以就有$a|p$,因此$p=a$

则代入前述方程就得到$p|b^4$,故$p|b$,从而就有$(a,b)=p>1$,矛盾!


所以$f(x)$没有一次有理因式

(2)$f(x)$没有二次有理因式
反证,假设$f(x)$有二次有理因式,则存在整数$a,b,c,d$使得
\[f(x)=(x^2+ax+b)(px^2+cx+d)=px^4+2px^3-px+(3p-1)\]
将多项式相乘展开来比较系数就得到
\[\left\{\begin{array}{l}pa+c=2p\\pb+ac+d=0\\bc+ad=p\\bd=3p-1\end{array}\right.\]
由第一式知道$p|c$,从而再由第二式就有$p|d$,于是根据第四式就得到$p|1$,矛盾!
所以$f(x)$没有二次有理因式
综合上面两步即知:多项式$f(x)=px^4+2px^3-px+3p-1$在有理数域上不可约。


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