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[其它题目] 实变函数题目求解

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发表于 2018-10-27 11:40:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
设$f$是有界可测集$E$上的可测实函数。如果对于一切$g\in L^{2} (E)$都有$fg\in L(E)$,证明
(1)存在$c> 0$,使得对一切 $g\in L^{2} (E)$都有$$\int_E  \mid f(x)g(x)  \mid dx \leq  c(\int_E  g^{2} (x) dx)^{\frac{1}{2} }, $$
(2)$f\in L^{2} (E).$
发表于 2018-10-29 18:30:36 | 显示全部楼层
定义有界函数序列

$$f_n=\left\{\begin{array}{l} f(x),\quad |x| \leq  n\\ 0, \quad 0,\end{array}\right.$$


则$f_n$对应于$L^2$上连续线性函数 $$ g \rightarrow \int_Ef_ng dx,$$并且逐点有界.

根据一致有界原理,可得结论.  
 楼主| 发表于 2018-10-30 08:14:52 来自手机 | 显示全部楼层
请问一致有界原理是什么?我在实变函数书上没有找到这个。或者它还叫什么名字?
发表于 2018-10-31 10:58:58 | 显示全部楼层
泛函分析里的.也叫共鸣定理.

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