博士家园

发表于 2018-7-24 11:50:51 来自手机 | 显示全部楼层 |阅读模式
1.设函数$f$在$R$上有界且$f"≥0.$证明:$f$为常值函数.
2.设函数$f$和$g$在区间$[a,+∞)$上连续,且当$x>a$时$|f'(x)|≤g'(x).$证明:当$x≥a$时,$|f(x)-f(a)|≤g(x)-g(a).$
3.设函数$f$在$[a,b]$上连续,导函数$f'$在$(a,b)$上递增.求证:对任何$x∈[a,b],$有$(b-x)f(a)+(x-a)f(b)≥(b-a)f(x).$
 楼主| 发表于 2018-7-24 17:19:45 来自手机 | 显示全部楼层
第三题自己摸索出来了,请老师帮忙解答前两题,非常感谢。
发表于 2018-7-25 07:46:42 | 显示全部楼层
1、解:
          由$f''\geq 0,\Rightarrow f'\uparrow.$

          设$x_1>x_2 \in \mathbb{R}$,则有$|f(x_1)|\leq M,|f(x_2)|\leq M,M\geq 0.$
         
          由中值定理:$f(x_1)-f(x_2)=f'(\xi)(x_1-x_2).$(且,由于$ f''\uparrow,\Rightarrow f'(\xi)\geq 0.$)
         
        $ \Rightarrow   f'(\xi) \leq \frac{|f(x_1)-f(x_2)|}{x_1-x_2}\leq \frac{|f(x_1)|+|f(x_2)|}{x_1-x_2}\leq \frac{2M}{x_1-x_2}.$

       令$x_1\rightarrow \infty ,\Rightarrow f'(\xi)=0.$

       由$x_1,x_2$的任意性,知$\xi$的任意性。即有$f'(x)=0.f(x)$为常值函数。


         
发表于 2018-7-25 07:50:47 | 显示全部楼层
2、对$f,g$分别用拉格朗日中值定理,再相除,比较即可。
 楼主| 发表于 2018-7-25 17:13:08 来自手机 | 显示全部楼层
2px4 发表于 2018-7-25 07:50
2、对f,g分别用拉格朗日中值定理,再相除,比较即可。

明白了,非常感谢!
发表于 2018-8-2 11:04:40 来自手机 | 显示全部楼层
1反证即可 2利用变上限积分 3同上
发表于 2018-8-2 11:09:13 来自手机 | 显示全部楼层
xxxz 发表于 2018-7-25 17:13
明白了,非常感谢!


对$f$和$g$分别用拉格朗日中值定理,得到的中值不一定是同一点啊.

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