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[数学分析] 求助一道数列极限题.

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发表于 2018-4-3 12:36:37 | 显示全部楼层 |阅读模式


已知$\{x_{n}\}$是一个数列,满足:$x_{n}^{n}+x_{n}-1=0 $且$x_{n}>0,$

证明:$1-x_{n}\sim \frac{lnn}{n}.$



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 楼主| 发表于 2018-4-14 19:41:18 | 显示全部楼层

容易看到$x_n$单调递增,且$0<x_n<1$.对于任意的$\varepsilon>0$,存在$N>0$,当$n>N$时
$$(1-\varepsilon)^n+(1-\varepsilon)-1<0$$
由$x^n+x-1$关于$x$单调递增,故$1-\varepsilon<x_n<1$,即$x_n\to 1$.

记$1-x_n=y_n\to 0$,则有
$$(1-y_n)^n+1-y_n-1=0\Rightarrow n=\frac{\ln{y_n}}{\ln{(1-y_n)}}$$

\begin{align*}
\lim_{n\rightarrow \infty}\left( 1-x_n \right) \frac{n}{\ln n}&=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n\frac{\frac{\ln y_n}{\ln \left( 1-y_n \right)}}{\ln \left( \frac{\ln y_n}{\ln \left( 1-y_n \right)} \right)}
\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}x\frac{\frac{\ln x}{\ln \left( 1-x \right)}}{\ln \left( \frac{\ln x}{\ln \left( 1-x \right)} \right)}
\\
&=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\ln x}{\ln \left( -\frac{1}{x}\ln x \right)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\frac{1}{x}}{\frac{x}{\ln x}\frac{1-\ln x}{x^2}}=\frac{\ln x}{\ln x-1}=1
\end{align*}
其中用到了$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln \left( \frac{\ln x}{\ln \left( 1-x \right)} \right)}{\ln \left( -\frac{1}{x}\ln x \right)}=1$.事实上
$$\frac{\ln \left( \frac{\ln x}{\ln \left( 1-x \right)} \right)}{\ln \left( -\frac{1}{x}\ln x \right)}-1=\frac{\ln \left( \frac{\ln x}{\ln \left( 1-x \right)} \right) -\ln \left( -\frac{1}{x}\ln x \right)}{\ln \left( -\frac{1}{x}\ln x \right)}=\frac{\ln \left( \frac{-x}{\ln \left( 1-x \right)} \right)}{\ln \left( -\frac{1}{x}\ln x \right)}\rightarrow 0\left( x\rightarrow 0 \right)
$$

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