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[高等代数] 北大直博试题请教.

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发表于 2018-3-26 21:15:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
北大直博试题
1. 证明对任意$3\times 3$复矩阵$A$,存在一个酉矩阵$U$, 使得$UAU^{-1}$为形如\[
\left(
\begin{array}{cccc}
*&0&*\\
*&*&0\\
*&0&*\\
\end{array}
\right)
\]
的矩阵.
2. 对于有理数域$\mathbb{Q}$上的两个$n$阶方阵\[
A=\left(
\begin{array}{cccc}
0&1&\cdots&1\\
0&0&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&1\\
0&\cdots&0&0\\
\end{array}
\right)
\text{和}
B=\left(
\begin{array}{cccc}
0&0&\cdots&0\\
1&0&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0\\
1&\cdots&1&0\\
\end{array}
\right)
\]
试证明两者是相似的,并求出一个矩阵$T$, 使得$A=T^{-1}BT$.
谢谢各位!

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 楼主| 发表于 2018-5-5 11:36:30 | 显示全部楼层

第一问,酉空间知识记得不是太清楚了,但是我觉得大致思路是求 $A$ 的特征值,及特征向量,然后做个正交化。

第二问,先令$n=2$,解出一个值,然后猜想一般的情形。具体的$n$阶方阵可以取反对角线上值全为1,其余地方为0的矩阵。


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