博士家园

查看: 1614|回复: 4

[高等代数] 北大直博试题请教.

[复制链接]
发表于 2018-3-26 21:15:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
北大直博试题
1. 证明对任意$3\times 3$复矩阵$A$,存在一个酉矩阵$U$, 使得$UAU^{-1}$为形如\[
\left(
\begin{array}{cccc}
*&0&*\\
*&*&0\\
*&0&*\\
\end{array}
\right)
\]
的矩阵.
2. 对于有理数域$\mathbb{Q}$上的两个$n$阶方阵\[
A=\left(
\begin{array}{cccc}
0&1&\cdots&1\\
0&0&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&1\\
0&\cdots&0&0\\
\end{array}
\right)
\text{和}
B=\left(
\begin{array}{cccc}
0&0&\cdots&0\\
1&0&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&0\\
1&\cdots&1&0\\
\end{array}
\right)
\]
试证明两者是相似的,并求出一个矩阵$T$, 使得$A=T^{-1}BT$.
谢谢各位!

-----------------------------
会员“金童玉女”投稿提问,参与解答请点击导航--投稿,并注明本题网址。

 楼主| 发表于 2018-5-5 11:36:30 | 显示全部楼层

第一问,酉空间知识记得不是太清楚了,但是我觉得大致思路是求 $A$ 的特征值,及特征向量,然后做个正交化。

第二问,先令$n=2$,解出一个值,然后猜想一般的情形。具体的$n$阶方阵可以取反对角线上值全为1,其余地方为0的矩阵。


--------------------

感谢ZhaoYing 回复,奖励20金币。
发表于 2018-8-13 15:38:46 | 显示全部楼层
第一题。选基底方法吧。把矩阵$A$看作线性变换,会看出来新的酉基底的第二个($U$矩阵的第二列)是特征向量。所以任意取一个单位长度
特征向量$U_2$,可以作为$U$的第二列。相似变换后第二列的第一行第三行都是$0$。$U$的第三列$U_3$应该满足$U_3$与
$U_3$的像$AU_3$都与$U_2$正交。空间是三维的,与$U_3,AU_3$与$U_2$正交是两个线性齐次方程,必然有非零解。所以
可以选出$U_3$,单位长度,并且相似变换后第三列的中间元素为。剩下$U_1$自然被决定了。
发表于 2018-8-15 15:17:21 | 显示全部楼层
周不通 发表于 2018-8-13 15:38
第一题。选基底方法吧。把矩阵A看作线性变换,会看出来新的酉基底的第二个(U矩阵的第二列)是特征向量。 ...

这个题目是$UAU^{-1}$,不是$U^{-1}AU$。所以请把上面解答的每一个“列”字更改为“行”。或者,把上述解答求出的取作$U^{-1}$而不是$U$。
发表于 2018-10-1 17:13:49 | 显示全部楼层
第二题,可以取变换矩阵$T=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\  \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix}.  $

关于我们|手机版|博士家园 ( 沪ICP备15045866号 )(沪公网安备沪公网安备 31011702001868号) 

GMT+8, 2018-12-15 13:24 , Processed in 1.125000 second(s), 15 queries , Gzip On.

Powered by Discuz! X3.2

© 2004-2018 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表