博士家园

发表于 2018-3-15 10:43:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
求证数列{$\sin n$}的极限点集合为$[-1,1].$


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 楼主| 发表于 2018-4-2 16:26:29 | 显示全部楼层
解答:
    设$\alpha =\frac{1}{2\pi } $,首先证明$\forall x_{0} \in  [0,1]  $ ,  $ \forall     \varepsilon > 0  $ ,  $ \exists n_{0} \in  N^{+} $ 有 $\mid (n_{0}\alpha)-x_{0}\mid< \varepsilon$.将$[0,1] N$等分,并取$\varepsilon=\frac{1}{N } $

    易知$(\frac{1}{2\pi} )$,$(\frac{2}{2\pi} )$,...,$(\frac{N+1}{2\pi} )$是两两不同的$N+1$个数,则$\exists a_{1},a_{2}\in\{1,2,...,N+1\} $有$0<(\frac{a_{1}}{2\pi} )-(\frac{a_{2}}{2\pi} )<\varepsilon$

    即有$0<(a_{1}-a_{2})\frac{1}{2\pi }-[\frac{a_{1}}{2\pi}]+[\frac{a_{2}}{2\pi}]<\varepsilon$.

    记$A=a_{1}-a_{2}, B=[\frac{a_{1}}{2\pi}]-[\frac{a_{2}}{2\pi}]$.则有$0<A\cdot \frac{1}{2\pi }-B<\varepsilon$

    记$A\cdot \frac{1}{2\pi }-B=C$则得$A\cdot \frac{1}{2\pi }=B+C$ $\forall K\in Z$有$\frac{1}{2\pi }AK=KB+KC$

① 当$A>0$时,令$K$取遍小于$\frac{1}{C} $的正整数得$(\frac{AK}{2\pi}) =KC$.

② 当$A<0$时,取$K$为大于等于$-\frac{1}{C} $的负整数,则$(\frac{AK}{2\pi} )=1+KC$.
     (这是由于$KA>0$)

    不难看出$(\frac{AK}{2\pi}) $在$[0,1]$中均匀分布并且$(\frac{A(K+1)}{2\pi} )-(\frac{AK}{2\pi})=C< \varepsilon $且$C>0$

    ∴ $\forall x_{0} \in [0,1]  $   $ \exists k_{0} \in Z $ 有 $\mid (\frac{Ak_{0}}{2\pi})-x_{0}\mid\leq C< \varepsilon$.

    取$Ak_{0}=n_{0}$即得$\mid (n_{0}\alpha)-x_{0}\mid< \varepsilon$.

    ∵ $f(x)=\sin x$ 在$R$上一致连续
   
    ∴ $ \forall     \varepsilon > 0  $   $ \exists\delta >0 $ 有当$\mid x_{1}-x_{2}\mid<\delta$时$\mid \sin x_{1}-\sin x_{2}\mid<\varepsilon $.

    $ \forall    D\in[-1,1]  $取$E=\frac{\arcsin D}{2\pi} $则$E \in [0,1]$.

    取$\varepsilon_{0}=\frac{1}{N_{1}}<\frac{\delta}{2\pi}$ 则$\exists n_{0} \in  N^{+} $有$\mid (\frac{n_{0}}{2\pi })-E\mid<\varepsilon_{0}<\frac{\delta}{2\pi}$,即$\mid\frac{n_{0}}{2\pi }- [\frac{n_{0}}{2\pi }]-E\mid<\frac{\delta}{2\pi}$

    即$\mid n_{0} - 2\pi[\frac{n_{0}}{2\pi }]-2\pi E\mid<\delta$.

    又∵$\sin ( 2\pi[\frac{n_{0}}{2\pi }]+2\pi E)=D$

    ∴取$\varepsilon_{i}=\frac{1}{N_{1}+i}$ $\exists n_{i}$有$\mid \sin n_{i}-D\mid<\frac{1}{N_{1}+i}$,$i=1,2,...$.

    于是我们找到了一个子列$\{\sin n_{k}\}$趋于$D$,∴$D$为极限点.
   
    由D的任意性知$\{\sin n\}$的极限点组成的集合为$[-1,1]$.

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解答由会员:Michael提供。

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