博士家园

发表于 2018-3-5 10:39:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
函数 $f$ 和 $g$ 具有相同的导数,而 $f$ 和$~g~$并不相差一个常数 Rey Pastor有例如下:
         设 $g$ 是 Cantor 函数. 于单位闭区间 $[0,1]$ 上定义函数 $h$ ,使在 Cantor 集 $C$ 上它的值等于 $0$ ;而在构造 Cantor 集 $C$ 时移走的各个开区间 $(a,b)$ 内,$h(x)$ 的图形由两个直径都在  $x$ 轴上的全等的半圆组成,对应左半 $(a,b)$ 的半圆位于 $x$ 轴之上,而对应右半 $(a,b)$ 的半圆位于 $x$ 轴之下:
\begin{equation}
h(x)=\begin{cases}
\left[\left(\frac{b-a}{4}\right)^2-\left(x-\frac{3a+b}{2}\right)^2\right]^\frac{1}{2},~~a<x\leqslant\frac{a+b}{2},\\ -\left[\left(\frac{b-a}{4}\right)^2-\left(x-\frac{3b+a}{4}\right)^2\right]^\frac{1}{2},~~\frac{a+b}{2}\leqslant x<b.
\end{cases}
\end{equation}
于是 $h$ 在区间 $[0,1]$ 上处处连续. 最后设
\begin{align}
f(x)&=2g(x)+h(x).\\q(x)&=g(x)+h(x).
\end{align}
那么在 $0\leqslant x\leqslant 1$ 上 $f'(x)=q'(x)$:  对于$~{\rm Cantor}~$集 $~C~$的每个$~x~$来说,$f'(x)=q'(x)=+\infty;$若$ ~x~$是构造$ ~C~$时所移走的一个区间的中点,则有 $f'(x)=q'(x)=-\infty;$ 在其他的点 $x\in[0,1]\backslash C,~f'(x)=q'(x)=h'(x).$  另一方面,$f(x)-q(x)=g(x), 而~g(x)~不是常值函数.$
  $~~~~~~~\,$函数 $f$ 和 $g$ 具有相同的有限导数,那么 $f$ 和$~g~$相差一个常数,可见,在这个命题里,导函数有限这一条件是非常重要的,如果去掉这一条件,该命题则不再成立.

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