博士家园

发表于 2018-2-25 23:34:04 | 显示全部楼层 |阅读模式
找到所有满足下列条件的 $f(x)$ :

$1. ~f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R};\\$

$2. \forall x,y\in\mathbb{R},~f(x+y)+f(x)f(y)=(1+x)f(y)+(1+y)f(x)+f(xy) ;$

$f(x)$ 的全部表达式有 $f(x)=0,~f(x)=3x,~f(x)=x(x+1)$.

这里有一种解法(请各位批评指正):

解:首先让 $y=0$ 有$$f(x)f(0)=(2+x)f(0).\tag{1}$$
所以有 $f(0)=0~或者~f(x)=2+x$ ,把$~f(x)=x+2~$带入条件易得不成立。故有$~f(0)=0$.
令$~c=f(1),y=1.$ 得到:$$~f(x+1)=(3-c)f(x)+c(x+1).\tag{2}$$
当 $c=3$ 时成立,故$~f(x)=3x~$在$ ~x\in \mathbb R$ 成立。
当 $c\not =3时,~$ 在 $(2)$ 式中令 $x=-1$ 有:$$0=(3-c)f(-1).\tag{3}$$
因为 $c\not=3$ ,故有 $f(-1)=0 $ .在条件中令 $y=-1$ 得到:$$f(x-1)=f(-x).\tag{4}$$
在 $(4)$ 式中令 $x=2$ 得到 $f(-2)=f(1)=c$ .且有 $f(-1)=0$ ,在 $(2)$ 式中令$~x=-2~$得到:
$$c=\frac{c}{3-c}.$$
可得 $ c=0或者c=2$. $$ ~$$
当 $c=0时,带入~(2)~式有~f(x+1)=3f(x)$,将该式带入$~(4)~$式有:$$f(-x)=f(x-1)=\frac{f(x)}{3}.\tag{5}$$
故有:$$f(x)=f(-(-x))=\frac{f(x)}{9}.$$由此可推导出 $f(x)=0$.
当$~c=2~$时,带入$~(2)~$式得 $f(x+1)=f(x)+2x+2.$ 即 $f(x)=f(x-1)+2x.$ 带入 $(4)$ 式得$$f(-x)=f(x-1)=f(x)-2x.\tag{6}$$即有:$$f(x+2)=f((x+1)+1)=f(x)+4x+6.$$
带入 $x=0$ 有 $f(2)=6$. 在条件中令 $y=2$ 有:$$f(2x)=4f(x)-2x.\tag{7}$$
在条件中令 $y=x$ 得到:$$f(x^2)=f(2x)+f(x)^2-2(1+x)f(x)=f(x)^2-2xf(x)+2f(x)-2x.\tag{a}$$
在条件中令 $y=x$ 得到:$$f(x)f(-x)=(1+x)f(-x)+(1-x)f(-x)+f(-x^2).\tag{b}$$
由$~(6)~$得 $f(-x)=f(x)-2x.$ 和 $f(-x^2)=f(x^2)-2x^2.$ 再结合$~(a)~式与~(b)~式$得到:
$$f(x^2)=f(x)^2-2xf(x)-2f(x)+4x^2+2x.\tag{8}$$
将 $(8)$ 式带入$~(a)~式与~(b)~式$得到:$4f(x)=4x^2+4x.$由此得到:$$f(x)=x(x+1).$$
综上所述有:
\begin{equation}
\begin{cases}
f(x)=0.\\
f(x)=3x.\\
f(x)=x(x+1).
\end{cases}
\end{equation}


感谢网友3sza供稿,奖励1威望。

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