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[数学分析] 问两道分析题

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发表于 2018-2-3 02:55:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
1.用换元法证明$\displaystyle n\cdot\int_{1}^{1+\frac{1}{n}}\sqrt{1+x^n}\text{d}x\quad(n\to\infty)$存在,并求出极限值
从一本习题集上抄下,按进度允许用积分第一中值定理,不能用分部积分与积二
那么令$\displaystyle I_{n}=n\cdot\int_{1}^{1+\frac{1}{n}}\sqrt{1+x^n}\text{d}x$,换元$t=x^n$化简得\[I_{n}=\int_{1}^{(1+\frac{1}{n})^n}\sqrt{1+t}\cdot  t^{\frac{1}{n}-1}\text{d}t\]
到这里就没思路了,再用积一好像求不出极限
2.设$f^{\prime\prime}(x)$在$(a,b)$上连续,$\forall x_{0}\in(a,b),r>0$,使$x_{0}\pm  r\in(a,b)$,求证:$\exists \xi\in(x_{0}-r,x_{0}+r)$,使得\[f^{\prime\prime}(\xi)=\frac{3}{r^3}\int_{x_{0}-r}^{x_{0}+r}[f(x)-f(x_{0})]\text{d}x\]
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