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[数学分析] 问两道分析题

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发表于 2018-2-3 02:55:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
1.用换元法证明$\displaystyle n\cdot\int_{1}^{1+\frac{1}{n}}\sqrt{1+x^n}\text{d}x\quad(n\to\infty)$存在,并求出极限值
从一本习题集上抄下,按进度允许用积分第一中值定理,不能用分部积分与积二
那么令$\displaystyle I_{n}=n\cdot\int_{1}^{1+\frac{1}{n}}\sqrt{1+x^n}\text{d}x$,换元$t=x^n$化简得\[I_{n}=\int_{1}^{(1+\frac{1}{n})^n}\sqrt{1+t}\cdot  t^{\frac{1}{n}-1}\text{d}t\]
到这里就没思路了,再用积一好像求不出极限
2.设$f^{\prime\prime}(x)$在$(a,b)$上连续,$\forall x_{0}\in(a,b),r>0$,使$x_{0}\pm  r\in(a,b)$,求证:$\exists \xi\in(x_{0}-r,x_{0}+r)$,使得\[f^{\prime\prime}(\xi)=\frac{3}{r^3}\int_{x_{0}-r}^{x_{0}+r}[f(x)-f(x_{0})]\text{d}x\]

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发表于 2018-4-26 22:01:36 | 显示全部楼层
1.原问题描述
       用换元法证明$\displaystyle n\cdot\int_{1}^{1+\frac{1}{n}}\sqrt{1+x^n}\text{d}x\quad(n\to\infty)$存在,并求出极限值
从一本习题集上抄下,按进度允许用积分第一中值定理,不能用分部积分与积二
那么令$\displaystyle I_{n}=n\cdot\int_{1}^{1+\frac{1}{n}}\sqrt{1+x^n}\text{d}x$,换元$t=x^n$化简得\[I_{n}=\int_{1}^{(1+\frac{1}{n})^n}\sqrt{1+t}\cdot  t^{\frac{1}{n}-1}\text{d}t\]
到这里就没思路了,再用积一好像求不出极限

原问题网址:http://www.math.org.cn/forum.php ... &extra=page%3D1

2.解答
       面对该问题我的第一反应是用L'Hospital法则,但是发现被积表达式$\sqrt{1+x^n}$中有$n$,于是此路不通。后来就想用夹逼定理,对$\sqrt{1+x^n}$用了各种不等式,发现还是不行。试了很久,最后在准备放弃之前看了一眼原题,发现了“换元法”三个字,然后看到原提问者已经做的变形,然后发现此时用夹逼定理实在是妙,具体如下:
\[\int_{1}^{(1+\frac{1}{n})^n}\sqrt{1+t}\cdot  t^{-1}\text{d}t \leq I_{n} \leq (1+1/n)\int_{1}^{(1+\frac{1}{n})^n}\sqrt{1+t}\cdot  t^{-1}\text{d}t\]
另$n \to \infty$,得到\[\lim_{n\to \infty}I_n = \int_{1}^{e}\frac{\sqrt{1+t}}{t}\text{ d}t\]

\[\int_{1}^{e}\frac{\sqrt{1+t}}{t}\text{ d}t = -\int_{1}^{e}\sqrt\frac{{1+t}}{t^2}\text{ d}\frac{1}{t}\]

后面再做变量替换$u=t^{-1}$就得到可以求出原函数的被积函数,于是就算出了原积分,最后答案实在比较复杂就略了。

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