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[高等代数] 限制极值(矩阵分析)

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数学系男孩 发表于 2018-1-7 18:02:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
假设$A\in M_n(\mathcal{R})$ 是对称的. 证明:$\max\{x^TAx:x\in\mathcal{R}^n,x^Tx=1\}$ 是 $A$ 的最大的实特征值.
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 楼主| 数学系男孩 发表于 2018-1-7 18:04:42 | 显示全部楼层
这学期修了门数学学院的《矩阵分析》(浙江大学),快要考试了,现在处于复习阶段。所以这是这段时间遇到的一些基础问题,希望会的人可以给出提示。谢谢啦
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Hansschwarzkopf 发表于 2018-1-8 07:14:29 | 显示全部楼层
对角化以后即可看出。
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 楼主| 数学系男孩 发表于 2018-1-8 15:42:13 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2018-1-8 07:14
对角化以后即可看出。


由于$A$是实对称阵,必存在正交阵$P$使得$A=P^T\Gamma P$,其中 $\Gamma=diag\{\lambda_1,....,\lambda_n\}$. 继而有$x^TAx=x^TP^T\Gamma Px=\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^2\le\max_{i}\lambda_i$. 其中$y=Px$ 且 $y^Ty=x^TP^TPx=1$.
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 楼主| 数学系男孩 发表于 2018-1-8 15:43:25 | 显示全部楼层
数学系男孩 发表于 2018-1-8 15:42
由于A是实对称阵,必存在正交阵P使得A=P^T\Gamma P,其中 \Gamma=diag\{\lambda_1,....,\lambda_n\ ...

谢谢你啊
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 楼主| 数学系男孩 发表于 2018-1-8 17:03:54 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2018-1-8 07:14
对角化以后即可看出。

可以问你另一个问题吗?如何证明一个正规矩阵$A$是无亏的,即几何重数与代数重数相等。
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XubinHu 发表于 2018-1-8 20:40:26 来自手机 | 显示全部楼层
数学系男孩 发表于 2018-1-8 17:03
可以问你另一个问题吗?如何证明一个正规矩阵A是无亏的,即几何重数与代数重数相等。 ...

正规矩阵一定能对角化。
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