博士家园

发表于 2018-1-5 21:34:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
设$ F\subset \mathbb R $是非空有界完备集合。证明:存在$ \mathbb R$上连续函数$f$满足:
(1)$ 0\leqslant f(t) \leqslant 1,  \forall t \in \mathbb R$;
(2)$ f(t_1) \leqslant f(t_2),  \forall t_1<t_2$;
(3)$ \lbrace f(t)|t\in F \rbrace=[0,1] $.
发表于 2018-1-8 10:57:00 | 显示全部楼层
$f(x)=
\left\{
\begin{array}{ll}
0,&x<0;\\
x,&x\in[0,1];\\
1,&x>1.
\end{array}
\right.$
发表于 2018-1-9 20:06:26 | 显示全部楼层
建议考虑勒贝格测度$m$。定义$f(x)=\frac{\,m((-\infty,x) \cap F)\,}{m(F)}$.
可惜对零测集不成立,
发表于 2018-1-9 22:53:52 | 显示全部楼层
大家要有用点集拓扑的想法去做,没有测度,没有直观的函数。

很久以前似乎在《拓扑空间》高国士,这类书看过类似的。
发表于 2018-1-10 12:15:21 | 显示全部楼层
周不通 发表于 2018-1-9 20:06
建议考虑勒贝格测度m。定义f(x)=\frac{\,m((-\infty,x) \cap F)\,}{m(F)}.
可惜对零测集不成立, ...

注意到$F$是有界闭集,设$m=\inf F ,M=\sup F$,
$$f(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{\,\sup[ (-\infty,\,x) \cap F] -m\,}{M-m},\quad x \geq m; \\ 0,\quad x \leq m. \end{aligned} \right .$$
发表于 2018-1-10 18:51:25 | 显示全部楼层
这个问题没那么简单。注意到$mF=0$是可能的,比如说当$F$是Cantor三分集的时候. 当$F$是Cantor三分集的时候,问题就不简单。
 楼主| 发表于 2018-1-10 20:28:37 | 显示全部楼层
周不通 发表于 2018-1-10 12:15
注意到F是有界闭集,设m=\inf F ,M=\sup F,
f(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{\,\sup[ (-\infty, ...


谢谢,但是好像这个函数还不能保证连续吧。
假设有界完备集为 $[0,1]$ 与 $[2,3]$ 的并,按这个函数的定义,在 $x=2$ 处是间断点。
发表于 2018-1-11 08:32:45 | 显示全部楼层
hyk84 发表于 2018-1-10 20:28
谢谢,但是好像这个函数还不能保证连续吧。
假设有界完备集为 [0,1] 与 [2,3] 的并,按这个函数的定 ...

你是对的.只能保证半连续性.
发表于 2018-1-12 07:11:49 | 显示全部楼层
先定义$F$上的单调递增连续函数,使得它的值域是单位区间,然后再连续延拓到整个直线。

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