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[考研真题] 刚码好的2018年武汉大学高代真题

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Vanuatu 发表于 2017-12-24 18:15:29 | 显示全部楼层 |阅读模式
LeTeX技术不到家,尽力造福后人

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题没有任何难度. 提一句, 这个排版有点差.  发表于 2017-12-24 18:53

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 楼主| Vanuatu 发表于 2017-12-24 18:32:46 | 显示全部楼层
缓缓再附上解答吧
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 楼主| Vanuatu 发表于 2017-12-29 01:44:09 | 显示全部楼层
这几天开始把我写的解答慢慢附上,

第1题.设$\alpha ,\beta$是$n$维列向量,且$\alpha^T\beta =3,B=\alpha\beta^T,A=E-B$,其中$E$是$n$阶单位矩阵,
证明:(1)$B^k=3^{k-1}B(k\geq 0为正整数)$;
证明:(2)$A+2E$和$A-E$中至少有一个不可逆;
证明:(3)$A$和$A+E$都可逆。
(考试的试卷原题第三问说的是不可逆,这明显可以看出是错误的)

证明:(1)易知$B^2=\alpha\beta^T\alpha\beta^T=3\alpha\beta^T$,则有
$$B^k=B^{k-2}\cdot B^2=3B\cdot B^{k-2}=3B^{k-1}=\cdots=3^{k-2}B^2$$
(你要觉得这样证明不严谨,那就数学归纳法吧)
(2)因为$(A+2E)(A-E)=(3E-B)(-B)=3B-B^2=O$,等式两边取行列式,可以得出至少有一个式子的行列式值为0
即$A+2E$和$A-E$中至少有一个不可逆
(3)$\left|A\right|=\left|E-B\right|=\left|E-\alpha\beta^T\right|=1-\beta^T\alpha\neq0$
而$\left|A+E\right|=\left|2E-B\right|=\left|2E-\alpha\beta^T\right|=2^{n-1}(2-\beta^T\alpha)=-2^{n-1}\neq0$
这里用的降阶公式(或者说利用“打洞”原理)
所以$A$和$A+E$都可逆。
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 楼主| Vanuatu 发表于 2017-12-29 02:46:46 | 显示全部楼层
第2题.设$W_1,W_2$是数域$F$上线性空间$V$的子空间,证明
$$dim(W_1+W_2)=dim(W_1)+dim(W_2)-dim(W_1\cap W_2)$$

这题就是考维数定理的证明,维数定理在前几年的武大线性代数试卷就考过,其主要的证明思想就是基的扩充原理
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 楼主| Vanuatu 发表于 2017-12-29 14:12:19 | 显示全部楼层
第3题.设$V$是数域$F$上的$n$维线性空间,$\alpha_1 ,\alpha_2 ,\cdots , \alpha_n$是$V$的一组基,$\beta_1 ,\beta_2 ,\cdots , \beta_n$是$V$任意的$n$个向量,证明:存在唯一的线性变换$\sigma$使得$\sigma(\alpha_i)=\beta_i ,i=1,2,\cdots ,n$

这题在北大教材和高教版张禾瑞老师的高代书也是有的,我想其他书也有。
证明:设$$\xi=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots +x_n\alpha_n$$
是$V$中的任意向量,我们定义$V$到自身的一个映射$\sigma$:
$$\sigma\left(\xi\right)=x_1\beta_1+x_2\beta_2+\cdots +x_n\beta_n$$
我们证明,$\sigma$是$V$的一个线性变换。设
$$\eta=y_1\alpha_1+y_2\alpha_2+\cdots +y_n\alpha_n \in V$$
那么$$\xi +\eta=(x_1+y_1)\alpha_1+(x_2+y_2)alpha_2+\cdots +(x_n+y_n)\alpha_n $$
于是$$\sigma(\xi +\eta)=(x_1+y_1)\beta_1+(x_2+y_2)\beta_2+\cdots +(x_n+y_n)\beta_n$$
$$=(x_1\beta_1+x_2\beta_2+\cdots +x_n\beta_n)+(y_1\beta_1+y_2\beta_2+\cdots +y_n\beta_n)=\sigma(\xi)+\sigma(\eta)$$
设$a\in F$.那么
$$\sigma(a\xi)=\sigma(ax_1\alpha_1+ax_2\alpha_2+\cdots +ax_n\alpha_n)$$
$$=ax_1\beta_1+ax_2\beta_2+\cdots +ax_n\beta_n$$
$$=a(x_1\beta_1+x_2\beta_2+\cdots +x_n\beta_n)=a\sigma(\xi)$$.
这样的按照定义证明了$\sigma是V的一个线性变换$。且满足所要求的条件$\sigma(\alpha_i)=\beta_i ,i=1,2,\cdots ,n$
        如果存在$\tau$是$V$的一个线性变换,且
$$\tau(\alpha_i)=\beta_i ,i=1,2,\cdots ,n$$
那么对于任意的$\xi=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots +x_n\alpha_n \in V$,
$$\tau(\xi)=\tau(x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots +x_n\alpha_n)$$
$$=x_1\tau_1+x_2\tau_2+\cdots +x_n\tau_n$$
$$=x_1\beta_1+x_2\beta_2+\cdots +x_n\beta_n=\tau(\xi)$$.
从而$\tau=\sigma$.从而唯一性得证。
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 楼主| Vanuatu 发表于 2017-12-29 14:56:44 | 显示全部楼层
第4题.设$n$阶矩阵$A$秩为$r(0<r<n)$,且$A^2=A$,证明:$A$与对角矩阵相似,并求出该对角矩阵。

证明:由$A^2=A$可得,$A$的最小多项式是$f(x)=x^2-x=x(x-1)=0$的因式,而$f(x)$
已经是两个互素一次因式的乘积,所以$f(x)=x(x-1)$即是$A$的最小多项式。
因为$A$的最小多项式是互素的一次因式的乘积,所以$A$与对角矩阵相似

同时根据$A^2=A$,可得$A$的特征值是0和1,且$rank(A-E)+rank(A)=n$所以知
$$A\sim\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix},其中E_r是r阶的单位矩阵$$
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Joe 发表于 2017-12-29 15:00:12 | 显示全部楼层
Vanuatu 发表于 2017-12-29 01:44
这几天开始把我写的解答慢慢附上,

第1题.设\alpha ,\beta是n维列向量,且\alpha^T\beta =3,B=\alpha ...

(3)因为$A(A+I)=(I-B)(2I-B)=(2I-3B+B^2)=2I$,等式两边取行列式,可知,$|A|\neq 0$且$|A+I|\neq 0$,I为n阶单位矩阵。
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 楼主| Vanuatu 发表于 2017-12-29 15:11:18 | 显示全部楼层
第5题.判定二次型$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=n\sum_{i=1}^nx_i^2-(\sum_{i=1}^nx_i)^2类型,$$
并说明理由。

证明:易知二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$对应的矩阵是
$$A=\begin{pmatrix}n-1&-1&\cdots&-1\\-1&n-1&\cdots&-1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\-1&-1&\cdots&n-1\end{pmatrix}$$
可以看出$A$每行的元素和为0,所以有$\left|A\right|=0,rank(A)\leq n-1$,而由严格对角占优的知$A$的$n-1$阶顺序主子式是大于零的,即$rank(A)=n-1$
最后结合柯西不等式知$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\geq 0$对任意的$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$都成立,所以$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\geq 0$是一个半正定二次型
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 楼主| Vanuatu 发表于 2017-12-29 15:26:58 | 显示全部楼层
第6题.设$A,B,C$是$n阶$矩阵,证明:(1)如果$A^2=E$,则$rank(A+E)+rank(A-E)=n$
$$(2)rank\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\geq rank(A)+rank(B),并给出等号成立的条件$$

证明:(1)跟第4题同理可以证得$A$与对角矩阵
$$\begin{pmatrix}E_s&O\\O&E_t\end{pmatrix}相似,且s+t=n.$$
由于相似的矩阵有相同的特征值,所以$A$的特征值为1或者-1,且$rank(E-A)=rank(A-E)=s,rank(E+A)=t$
所以$rank(A+E)+rank(A-E)=n$

(2)第二题证明思路大概就是:因为多个矩阵$C$,使得$B$的列向量组维数增加,可能会使原来$B$中的线性相关变成线性无关,但原本线性无关的向量增加维数之后,不改变它的线性无关性。
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 楼主| Vanuatu 发表于 2017-12-29 15:32:43 | 显示全部楼层
第7题.设$\sigma$是数域$F$上的向量空间$V$的一个线性变换,且满足$\sigma^2=\sigma$,证明:
(1)$ker\sigma=\{\xi-\sigma(\xi)|\sigma\in V\}$
(2)$V=ker\sigma\oplus Im\sigma$
(3)如果$\tau$是$V$另一个线性变换,则$ker\sigma和 Im\sigma都在\tau$之下不变的充分必要条件是$\tau\sigma=\sigma\tau$

证明:(1)对任意的$\xi\in V$,有
$$\sigma(\xi-\sigma(\xi))=\sigma\left(\xi\right)-\sigma^2(\xi)=\sigma\left(\xi\right)-\sigma\left(\xi\right)=0,$$
即$\xi-\sigma(\xi)\in Ker(\sigma)$;
        另外,$\forall\beta\in Ker(\sigma)$,则$\sigma(\beta)=0,$那么$\beta=\beta-\sigma(\beta)\in \{\xi-\sigma(\xi)|\sigma\in V\}$
即$ker\sigma\subseteq\{\xi-\sigma(\xi)|\sigma\in V\}$,因此$ker\sigma=\{\xi-\sigma(\xi)|\sigma\in V\}$

(2)任取$\xi\in V$,则$\xi=(\xi-\sigma(\xi))+\sigma(\xi)$,由(1)知$V=ker\sigma+Im\sigma$
任取$\alpha\in Ker\left(\sigma\right)\cap Im\left(\sigma\right)$,由$\alpha\in Im\left(\sigma\right),\exists \beta\in V$,使得$\sigma(\beta)=\alpha$,那么$\sigma^2(\beta)=\sigma(\alpha)$,因为$\alpha\in Ker\sigma$,所以$\sigma^2(\beta)=\sigma(\alpha)=0$,即$\sigma^2(\beta)=\sigma(\beta)=0$,因此$Ker\left(\sigma\right)\cap Im\left(\sigma\right)=0$,所以据定义有$V=ker\sigma\oplus Im\sigma$.

(3)先证必要性.
对任意的$\alpha\in Im(\sigma),\exists\beta\in V$,使得$\alpha=\sigma(\beta)$,那么
$$\tau(\alpha)=\tau(\sigma(\beta))=\sigma(\tau(\beta))\in Im(\sigma),$$
即$Im(\sigma)$在$\tau$之下不变;
对任意的$\xi\in Ker(\sigma),使得0=\sigma(\xi)$,那么
$$\sigma(\tau(\xi))=\tau(\sigma(\xi))=\tau(0)=0,$$
即$Ker(\sigma)在\tau之下不变$.

再证必要性.
对任意的$\xi\in V$,有
$$(\tau\sigma)(\xi)=\sigma(\tau(\xi))=\sigma(\tau(\xi-\sigma(\xi))+\tau(\sigma(\xi)))=\sigma(\tau(\xi-\sigma(\xi)))+\sigma(\tau(\sigma(\xi)))$$
由(2)知$\xi-\sigma(\xi)\in Ker(\sigma)$,并且$Ker(\sigma)在\tau之下不变$.因此$\tau(\xi-\sigma(\xi))\in Ker(\sigma),于是\sigma(\tau(\xi-\sigma(\xi)))=0$.
然而$Im(\sigma)$在$\tau$之下也不变,即$\tau(\sigma(\xi))\in Im(\sigma),那么一定存在\eta\in V,使得\tau(\sigma(\xi))=\sigma(\eta)$,即
$$\sigma(\tau(\sigma(\xi)))=\sigma(\sigma(\eta))=\sigma(\eta),$$
于是有$$(\sigma\tau)(\xi)=0+\sigma(\eta)=\tau(\sigma(\xi))=(\tau\sigma)(\xi),$$
因此$\tau\sigma=\sigma\tau$.
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