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[数学分析] 如何证明凸函数的连续性?

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发表于 2017-12-21 12:25:08 | 显示全部楼层 |阅读模式
请问如何证明凸函数的连续性
发表于 2017-12-21 16:13:44 | 显示全部楼层
开区间上的凸函数在该区间上每一点都有左右导数,因而连续。这是基础教程里的结果。
发表于 2017-12-21 19:27:40 来自手机 | 显示全部楼层
好像要有一个有界的条件
 楼主| 发表于 2017-12-21 19:42:17 来自手机 | 显示全部楼层
jiangjun7116 发表于 2017-12-21 19:27
好像要有一个有界的条件

就是凸函数在其区间的内点上连续
发表于 2017-12-21 23:11:40 来自手机 | 显示全部楼层
吕同学 发表于 2017-12-21 19:42
就是凸函数在其区间的内点上连续


没有有界条件似乎是不对的。考虑实数为有理数的扩域,它存在极大线性无关组,这个时候可以定义线性映射,由于线性性质,满足凸函数的定义,但它一般不连续。个人见解,仅供参考。
发表于 2017-12-22 10:55:31 | 显示全部楼层
jiangjun7116 发表于 2017-12-21 23:11
没有有界条件似乎是不对的。考虑实数为有理数的扩域,它存在极大线性无关组,这个时候可以定义线性映射, ...


满足凸函数的定义,就能证明有界性。
$$ f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$$
对 $\forall \lambda \in [0,1]$
发表于 2017-12-22 12:15:31 | 显示全部楼层
基本教程,如华东师大《数学分析》,有的内容,不知为什么还问。就不能去看看吗?
发表于 2017-12-22 12:50:30 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2017-12-22 12:15
基本教程,如·华东师大《数学分析》,有的内容,不知为什么还问。就不能去看看吗? ...

都是你们这些人惯的,你就不给解答,让他们自己想办法。
发表于 2017-12-22 14:15:12 | 显示全部楼层
秦岭愁回马 发表于 2017-12-22 12:50
都是你们这些人惯的,你就不给解答,让他们自己想办法。

金石之言,当铭肺腑。
发表于 2017-12-22 14:20:38 来自手机 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2017-12-22 10:55
满足凸函数的定义,就能证明有界性。
f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) ...

嗯嗯,搞晕了

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