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[数学分析] 极坐标变换中的疑问。

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发表于 2017-12-5 22:33:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
设常数$a>0$,求$\iint_{D}{xy^2}dxdy$,    其中 $D$={$x^2+y^2<ax$}

解:令${x=\frac{a}{2}+r\cos \theta ,y=r \sin\theta}$

则$D'$={$(\theta ,r)|0<\theta <2\pi,0<r<\frac{a}{2}$}


为什么我觉得$D$'={$(\theta ,r)|-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},0<r<\frac{a}{2}$}?因为图像只在一四象限有啊
发表于 2017-12-5 23:20:05 | 显示全部楼层
因为这里需要把圆的一般方程化为标准方程
\[x^2+y^2<ax \Leftrightarrow \left(x-\frac{a}{2}\right)^2 + y^2 < \left(\frac{a}{2}\right)^2\]
积分区域是在以 $(a/2, 0)$ 为圆心,$r=a/2$ 为半径的开圆盘.
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 楼主| 发表于 2017-12-5 23:36:23 来自手机 | 显示全部楼层
仙剑无痕 发表于 2017-12-5 23:20
因为这里需要把圆的一般方程化为标准方程
\[x^2+y^2


是啊。图像只出现在一四象限。答案是不是错了啊?
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发表于 2017-12-5 23:51:24 | 显示全部楼层
hstbt2014 发表于 2017-12-5 23:36
是啊。图像只出现在一四象限。答案是不是错了啊?

这里的极坐标的原点不是直角坐标系的原点, $x=\dfrac{a}{2}+r\cos\theta, y=r\sin \theta$,所以 $\theta$ 的范围并不决定在什么象限.
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 楼主| 发表于 2017-12-6 01:38:13 来自手机 | 显示全部楼层
仙剑无痕 发表于 2017-12-5 23:51
这里的极坐标的原点不是直角坐标系的原点, x=\dfrac{a}{2}+r\cos\theta, y=r\sin \theta,所以 \thet ...

那$\theta$的范围怎么确定的?
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发表于 2017-12-6 08:14:19 来自手机 | 显示全部楼层
hstbt2014 发表于 2017-12-6 01:38
那\theta的范围怎么确定的?

把图画出来, 确确实实找到$\theta$是哪个角, 你就能看出来是不是整个$2\pi$了

重点是参数方程中参数的几何意义
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 楼主| 发表于 2017-12-6 12:27:28 来自手机 | 显示全部楼层
XubinHu 发表于 2017-12-6 08:14
把图画出来, 确确实实找到\theta是哪个角, 你就能看出来是不是整个2\pi了

重点是参数方程中参数的几 ...


会写了。谢谢解答
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发表于 7 天前 | 显示全部楼层
你做参数变换的时候已经把圆域移动到圆心是原点的圆上了。所以区域就是整个圆。

如果有错误,烦请指正。
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 楼主| 发表于 7 天前 来自手机 | 显示全部楼层
7wov 发表于 2017-12-8 09:21
你做参数变换的时候已经把圆域移动到圆心是原点的圆上了。所以区域就是整个圆。

如果有错误,烦请指正。 ...


我也是这么认为的。要是能找到极坐标原点就可以确定了。
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