博士数学论坛

发表于 2017-12-4 20:32:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
$$\int ^{+\infty }_{0}\left[ \ln \left( 1+\dfrac {1}{x}\right)+\dfrac{p}{\sqrt {4x^{2}+2x+1}}\right]dx,$$讨论它的收敛性,其中$p$是实数。

首先分区间的话,一个趋于正无穷,一个趋于负无穷的话,整个积分收敛性该怎么算???
其次如果其中有一个发散就算发散的话,上题做法是不是将两个式子泰勒展开,之后如果$p$不为-2的话就都是发散。这么做对吗???


第二题,函数项级数通项为$\dfrac {x\sin \left( n^{2}x\right) }{n^{2}}$,首先放缩一步应该能知道它在整个数轴上是内闭一致收敛的。但是怎么证它不一致收敛?把$x$用$n^{2}$代进去的话,趋于无穷的时候好像不太好说明。

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 楼主| 发表于 2017-12-5 21:45:58 | 显示全部楼层
没有大神帮忙看一下嘛
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发表于 2017-12-5 22:02:03 | 显示全部楼层
第一题你的做法是对的。记被积函数为 $f(x)=g(x)+h(x)$,
\[g(x)=\ln \left(1+\frac{1}{x}\right), h(x)=\frac{p}{\sqrt{4x^2+2x+1}}\]
注意到 $x=0$ 处有瑕点,所以积分可以分为两段
\[\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = \int_0^1 f(x)\mathrm{d} x +\int_1^{+\infty} f(x)\mathrm{d}x = I_1 +I_2\]
容易验证
\[\lim_{x\to 0+} \frac{f(x)}{1/\sqrt{x}}=\lim_{x\to 0+} \frac{g(x)}{1/\sqrt{x}}+\lim_{x\to 0+} \frac{h(x)}{1/\sqrt{x}}=\lim_{x\to 0+}\frac{\ln (1+1/x)}{1/\sqrt{x}}=0\]
由比较判别法知 $I_1$ 收敛,只需考虑 $I_2$.
\[g(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\]
\[h(x)=\frac{p}{2x}\sqrt{1+\frac{1}{2x}+\frac{1}{4x^2}}=\frac{p}{2x}\left(1+\frac{1}{4x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\frac{p}{2x}+\frac{p}{8x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\]
因此有
\[f(x)=g(x)+h(x)=\left(1+\frac{p}{2}\right)\frac{1}{x}+\left(\frac{p}{8}-\frac{1}{2}\right)\frac{1}{x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\]
由比较判别法知当且仅当 $p=-2$ 时收敛.
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发表于 2017-12-5 22:22:15 | 显示全部楼层
第二题 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 一致收敛的必要条件是 $u_n(x)$ 一致趋于0,必定一致有界. 这里 $u_n(x)=\dfrac{x\sin(n^2 x)}{n^2}$ 并不是一致趋于0的,取 $x_k=\dfrac{(k+1/2)\pi}{n^2},k\in\mathbb{N}$,可知 $u_n(x)$ 一定无界.
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