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[分析] 关于华罗庚矩阵的一些问题

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发表于 2017-11-7 01:28:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
华罗庚矩阵是指 $$\begin{bmatrix} (I-A^*A)^{-1}&(I-B^*A)^{-1}\\(I-A^*B)^{-1}& (I-B^*B)^{-1}
\end{bmatrix},$$ 其中 $A, B$ 是 $n\times n$ 严格压缩矩阵 (i.e., matrices whose spectral norm is less than one).

如果一个方阵 $X$ 的特征根全是实数,我们记 $\lambda_j(X)$ 为 $X$ 的第 $j$ 个最大特征根. 一个复矩阵 $X$ 的奇异值是矩阵 $|X|:=(X^*X)^{1/2}$ 的特征根, 并记 $\sigma_j(X):=\lambda_j(|X|)$.


以下这些猜测未解决            Let $A, B$ be $n\times n$  contractive matrices and let $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$, $p>1$. Then  for $j=1, \ldots, n$   
   \begin{eqnarray*} \sigma_j^2(I-A^*B)&\ge& \lambda_j\Big((I-|A|^p)^{2/p}(I-|B|^q)^{2/q}\Big), \\ \sigma_j^2(I-A^*B)&\ge&  \sigma_j\Big((I-|A|^p)^{2/p}(I-|B|^q)^{2/q}\Big),  \\ \sigma_j(I-A^*B)&\ge& \lambda_j \Big((I-|A|^p)\sharp_{\frac{1}{q}}(I-|B|^q)\Big),
           \\ \sigma_j(I-A^*B)&\ge& \lambda_j \Big((I-|A|^p)^{1/p}(I-|B|^q)^{1/q}\Big);\\  \sigma_j^2(I-AB^*)&\ge&  \sigma_j\Big((I-|A|^p)^{2/p}(I-|B|^q)^{2/q}\Big). \end{eqnarray*}

参考文献 M. Lin, The Hua matrix and inequalities related to contractive matrices, Linear Algebra and its Applications, 511(2016) 22- 30.

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你是林明华?  发表于 2017-11-7 20:20
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