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[概率] 非负可测函数的积分

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发表于 2017-11-4 11:35:40 | 显示全部楼层 |阅读模式
设 $f$ 为非负可测函数. 令
$$\overline\int_\Omega fd\mu=\inf\{\int_\Omega gd\mu:g\geq f, g为简单函数\}.$$
$\overline\int_\Omega fd\mu$  和 $\int_\Omega fd\mu$ 相同吗?为什么积分的定义不用上式所表达的那样?
发表于 2017-11-5 21:44:41 | 显示全部楼层
可以证明相同.

可以使用这个定义, 而且这个定义可以适用于$f$不可測的情形.
这叫做$f$的外积分.
在经验过程中, 要处理许多不可測的函数, 基本上就是这样定义的. 你可以看 van de vaart 96年的经验过程书的前几章, 这是关于经验过程的经典书籍.
发表于 2017-11-7 10:33:04 | 显示全部楼层
因为这样如果$f$在一个零测集上是零, 定义会有麻烦.

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