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[数学分析] 不等式

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发表于 2017-10-11 23:06:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
设 $0<x<1$, 证明: $(1+x)^{\frac{1}{x}}\bigg(1+\dfrac{1}{x}\bigg)^x<4$
发表于 2017-10-12 10:32:50 | 显示全部楼层
猜测当 $x>0$ 时候,成立

$$(1+x)^{\frac{1}{x}}+\bigg(1+\dfrac{1}{x}\bigg)^x\leq 4$$
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发表于 2017-10-12 11:51:47 | 显示全部楼层
取对数,求导就行了
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 楼主| 发表于 2017-10-12 12:23:22 | 显示全部楼层
细之风 发表于 2017-10-12 11:51
取对数,求导就行了

取对数算了两页纸没算出来,放弃了。能不能再提示下
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发表于 2017-10-12 14:59:09 | 显示全部楼层
s19870810 发表于 2017-10-12 12:23
取对数算了两页纸没算出来,放弃了。能不能再提示下

这个函数应该是递增的,所以你的目标就是说明导数大于零!
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发表于 2017-10-14 11:37:09 | 显示全部楼层

\[f(x)=x\ln \frac{1+x}{x}+\frac{\ln (1+x)}{x},\]

\[f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{2}{1+x}+\ln\frac{x+1}{x}-\frac{\ln (1+x)}{x^2},\]
\[f''(x)=\frac{2\ln (1+x)}{x^3}-\frac{4x^2+2x}{x^2(1+x)^2}=\frac{2}{x^3}\left(\ln (1+x)-\frac{2x^2+x}{(1+x)^2}\right).\]

\[g(x)=\ln (1+x)-\frac{2x^2+x}{(1+x)^2},\]

\[g'(x)=\frac{x^2-x}{(1+x)^3}.\]

\[g(x)<g(0)=0,\forall x\in (0,1).\]
因此
\[f''(x)<0,\forall x\in (0,1).\]
进一步有
\[f(x)<f(1)+f'(1)(x-1)=f(1)=\ln 4 ,\forall x\in (0,1).\]
从而
\[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x(1+x)^{\frac{1}{x}}=e^{f(x)}<4,\forall x\in (0,1).\]

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 楼主| 发表于 2017-10-14 12:35:35 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2017-10-14 11:37

\[f(x)=x\ln \frac{1+x}{x}+\frac{\ln (1+x)}{x},\]

非常感谢h老师的解答。我开始算的一阶导数,后面越算越长。一阶导数本身也长也就没敢算二阶导数
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