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[数学分析] 一道数学分析题

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发表于 2017-10-11 21:03:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
设$\big\{I_{n} \big\}$为$R^{2}$中一列闭集并且满足:对任意的$n\in N$ ,$I_{n}\subseteq I_{n+1}$,$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}I_{n}$=$\big (0,1\big) \times \big (0,1\big)$.
证明存在$P_{0}\in\big (0,1\big) \times \big (0,1\big)$,$r>0$及$k\in N$,使得闭球$B\big (P_{0} ;r\big) \subseteq I_{k}$.
发表于 2017-10-13 14:56:22 | 显示全部楼层
能否用一下第二纲. 就是如果所有闭集都没有内点那么并集不可能是那样一个开集.
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发表于 2017-10-13 15:02:38 | 显示全部楼层
这道题的背景是贝尔纲定理(Baire Category Theorem),该定理的一个表述是每个局部紧的Hausdorff空间是一个贝尔空间(Baire space). 这里$X=(0,1)\times (0,1)$是局部紧的Hausdorff空间,用反证法,假设$I_n, n\in \mathbb{N}$都没有内点,那么$J_n=X-I_n$是$X$的稠密开子集,根据贝尔纲定理,$\cap_{n=1}^{\infty} J_n$也是$X$的稠密子集,但根据条件可得
\[\cap_{n=1}^{\infty} J_n=X-\cup_{n=1}^{\infty} I_n = X-X=\emptyset\]
故矛盾. 至于如何不用这个定理来证明,可以去参考这个定理的证明方法.
哈哈,楼上也有人提到了,慢了一步。
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 楼主| 发表于 7 天前 | 显示全部楼层
shuxue1985 发表于 2017-10-13 14:56
能否用一下第二纲. 就是如果所有闭集都没有内点那么并集不可能是那样一个开集. ...

嗯嗯,感谢您的解答!我理解了
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 楼主| 发表于 7 天前 | 显示全部楼层
仙剑无痕 发表于 2017-10-13 15:02
这道题的背景是贝尔纲定理(Baire Category Theorem),该定理的一个表述是每个局部紧的Hausdorff空间是一个 ...

谢谢你给了详细的解答!之前没接触过这个定理,现在明白了
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