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一道解析几何题目

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发表于 2017-10-6 23:50:03 来自手机 | 显示全部楼层 |阅读模式
对于任意一个单叶双曲面,是否总可以对其上任意一点,都找到一个正五边形,使得这个五边形的顶点都在这个单叶双曲面上?请说明理由。
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发表于 2017-10-9 12:07:48 | 显示全部楼层
什么叫“对其上任意一点,都找到一个正五边形”?
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发表于 2017-10-11 07:51:54 | 显示全部楼层
kucotrey 发表于 2017-10-9 12:07
什么叫“对其上任意一点,都找到一个正五边形”?

对单叶双曲面上任意固定的一点,能找到其他 4 个点,使得这 5 个点恰好构成正 5 边形。
估计是这个意思。

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发表于 2017-10-11 08:07:27 来自手机 | 显示全部楼层
谢谢,如果这样那就太简单了。任意垂直于轴的平面与单叶双曲面的截痕都是圆,再作这个圆的内接正五边形就行了。这个问题也太扯淡了!
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发表于 2017-10-11 08:15:24 | 显示全部楼层
kucotrey 发表于 2017-10-11 08:07
谢谢,如果这样那就太简单了。任意垂直于轴的平面与单叶双曲面的截痕都是圆,再作这个圆的内接正五边形就行 ...


单叶双曲面垂直于 $z$ 轴的截面只是椭圆。

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$
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发表于 2017-10-11 08:25:45 来自手机 | 显示全部楼层
哦,我理解错了,但这也不难,倾斜一定的角度的平面,所得截痕是圆,这是很容易做到的啊。
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发表于 2017-10-11 08:27:49 来自手机 | 显示全部楼层
我再想想
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发表于 2017-10-11 08:32:05 来自手机 | 显示全部楼层
我6楼的想法是正确的,确实可以做到。只是简单的线性代数问题。
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发表于 2017-10-11 08:38:18 | 显示全部楼层
kucotrey 发表于 2017-10-11 08:25
哦,我理解错了,但这也不难,倾斜一定的角度平行平面,所得截痕都是圆,这是很容易做到的啊。 ...


我再想想


  1. ContourPlot3D[
  2. x^2/3^2 + y^2/4^2 - z^2/8 == 1, {x, -30, 30}, {y, -30, 30}, {z, -20,
  3.   20}, RegionFunction ->
  4.   Function[{x, y, z}, x^2/3^2 + y^2/4^2 <= 30 ], Axes -> False,
  5. Boxed -> False, PlotPoints -> 30]
复制代码


下面代码也可以画


  1. region := ImplicitRegion[x^2/3^2 + y^2/4^2 - z^2/8 <= 1 , {x, y, z}]
  2. RegionPlot3D[region, PlotRange -> {{-20, 20}, {-20, 20}, {-10, 10}},
  3. PlotPoints -> 40, Boxed -> False]
复制代码


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发表于 2017-10-11 08:49:56 | 显示全部楼层


这 mathematica 还真挺好玩。

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