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[概率] 关于高斯测度对称性的问题

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发表于 2017-9-18 21:04:16 | 显示全部楼层 |阅读模式
$E$ 是一个可分的 Banach 空间,$E_M$ 是它的一个子空间,$S$ 和 $S_M$ 分别是它们当中的随机变量,$\mu$,$\mu_M$ 和 $\mu_M^{\perp}$ 分别是 $S$ $S_M$ 和 $S-S_M$ 的测度,$\mu$ 是对称高斯测度,那么有 $$\mu_M\ast \mu_M^{\perp}=\mu. (1)$$
其中 $\mu\ast\nu(\Gamma)=\int_E\mu(\Gamma-x)\nu(dx).$
对于任意给定的 $\epsilon$,令 $K$ 是满足 $\mu(K)>1-\epsilon$ 的紧集. 因为 $\mu_M\ast\mu_M^{\perp}(K)=\int_E\mu_M(K-x)\mu_M^{\perp}(dx)$, 那么存在 $x_0\in E$  满足 $$\mu_M(K-x_0)\geq 1-\epsilon. (2)$$
但是 $\mu$ 是对称的,所以有  $$\mu_M(K-x_0)=\mu_M(-K+x_0).(3)$$
我的疑问是 (1) 的表达合理吗?可以这么表达吗?是什么原理保证 (2) 的正确性的?由 $\mu$ 的对称性不是应该 $\mu_M(K-x_0)=\mu_M(-K-x_0)$ 吗?

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