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[概率] 关于高斯测度的一个问题

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发表于 2017-8-27 22:40:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
      A measure $\mu$ on $\mathbb{R}^1$ is of the form $\mathcal{N}(0,q)$ for some $q\geq 0$ if and only if, for arbitrary independent real valued random variables $\xi$ and $\eta$ such that $\mathscr{L}(\xi)=\mathscr{L}(\eta)=\mu$ and numbers $\alpha$, $\beta$ such that $\alpha^2+\beta^2=1$, we have $\mathscr{L}(\alpha\xi+\beta\eta)=\mu$.
诚心求教这个如何证明?
发表于 2017-8-28 21:02:35 | 显示全部楼层
命 $\varphi(t)$ 为 $\mu$ 的特征函数, 则由条件,
$$\varphi(\alpha t)\varphi(\beta t)=\varphi(t).$$
容易说明对任何 $t$, $\varphi(t)>0$. 命 $g(t)=\log \varphi(t)$, 则有
$$g(t) = g(\alpha t)+g(\beta t),\quad \forall\, \alpha^2+\beta^2=1,\, t\in\mathbb{R}.$$
且容易知道 $g(t)=g(-t)$, $g(0)=0$, $g$ 连续, 所以命
\[
f(t)=
\left\{
\begin{split}
&g(\sqrt{t}),\quad t\geq 0,\\
&-g(\sqrt{-t}),\quad t< 0
\end{split}
\right.
\]
则 $f$ 连续, 且对任何实数 $x,y$ 有
$$f(x+y)=f(x)+f(y).$$
这是标准的Cauchy方程, 可以知道存在 $a\in\mathbb{R}$ 使得
$$f(x)=ax,\quad\forall\, x\in\mathbb{R}.$$
所以
$$g(x) = ax^2.$$
$$\varphi(t)=e^{at^2}.$$
又 $|\varphi(t)|\leq 1$, 所以 $a\leq 0$, 再由唯一性定理就知道 $\mu$ 是均值为 $0$ 的正态分布.

 楼主| 发表于 2017-9-7 09:06:18 | 显示全部楼层
morrismodel 发表于 2017-8-28 21:02
命 \varphi(t) 为 \mu 的特征函数, 则由条件,
\varphi(\alpha t)\varphi(\beta t)=\varphi(t).
容 ...

请问 $|\varphi(t)|\leq 1$ 是为什么?还有由唯一性定理知道 $\mu$ 是标准正态分布?

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