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[几何] 力学在平面几何中的应用!

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发表于 2017-8-9 11:15:01 | 显示全部楼层 |阅读模式

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 楼主| 发表于 2017-8-9 11:29:13 | 显示全部楼层
平面上有一 $\triangle ABC,a,b,c$ 是三个给定的正数,让你在此平面上找到一点 $P,$ 使得 $aPA^2+bPB^2+cPC^2$ 取最小值。
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 楼主| 发表于 2017-8-9 11:46:07 | 显示全部楼层
最近在琢磨力学,发现此问题可以用力学方法简单解决!

题目中出现了平方和相加的形式,自然想到力学中的转动惯量。

令质点 $A,B,C$ 的质量分别为 $a,b,c,$ 那么当此质点系绕质心转动时,其转动惯量最小(平行移轴定理)。

于是在 $AB$ 上取点 $D$ 使得 $\frac{AD}{DB}=\frac{b}{a}$

在 $BC$ 上取点 $E$ 使得 $\frac{BE}{EC}=\frac{c}{b}$

那么 $CD$ 与 $AE$ 之交点 $P$ 就为所求。
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 楼主| 发表于 2017-8-9 11:54:07 | 显示全部楼层
力学其实就是会动的几何学。
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 楼主| 发表于 2017-8-9 11:59:48 | 显示全部楼层
表面上看这好像是力学对平面几何的应用,实际上只是数学对数学的应用罢了,是一个更一般的数学定理对其特殊情形的应用罢了!这没什么神秘的!
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发表于 2017-8-9 13:20:44 来自手机 | 显示全部楼层
如果表达式不带平方,这个问题也能用力学或者面积法去做不?
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 楼主| 发表于 2017-8-9 13:31:33 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2017-8-9 13:20
如果表达式不带平方,这个问题也能用力学或者面积法去做不?


可能有力学方法,只是我不知道罢了。也可能没有。
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 楼主| 发表于 2017-8-9 18:51:14 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2017-8-9 13:20
如果表达式不带平方,这个问题也能用力学或者面积法去做不?


欧式几何里对点的定义太狭隘了,其实完全可以给点赋予“质量”,可正可负,其实这就是“质点”。有了质点,就可以给质点系定义质心,质心这个定义太美了,因为有用而美,同时又是相当自然的!所以我经常感觉数学就是“正确的下定义”!有了质心的概念,什么塞瓦定理,梅涅劳斯定理等都是平淡无奇的东西,傻子也可以直接看出这类结果。所以给点赋予“质量”太重要了!数学概念的自由太重要了!
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发表于 7 天前 | 显示全部楼层
用求质心的办法,确实是一个好办法。解出来后觉得平淡,但想到这一点不容易。我想过如果是一次的情况下,是不是可以用杠杆定理,但好像行不通。
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 楼主| 发表于 7 天前 | 显示全部楼层
Eureka! Eureka! 我用力学方法也可以解决一次情形!
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