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[数学分析] 判断给出的证明是否正确

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发表于 2017-8-8 21:01:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
设函数$f(x)在x=0$连续,并且$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(2x)-f(x)}{x} =A$,求证:$f'(0)$存在,且$f'(0)=A$

对如下证法给出评论,认为正确请说明理由,认为不正确请给出反例

证:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(2x)-f(x)}{x} =A\Rightarrow f(2x)-f(x)=Ax+o(x)$

$f(\frac{x}{2^{k-1}})-f(\frac{x}{2^{k}})=A\frac{x}{2^{k}}+o(\frac{x}{2^{k}})$

$\sum_1^n[ f(\frac{x}{2^{k-1}})-f(\frac{x}{2^{k}})]=A\sum_1^n \frac{x}{2^{k}}+o(\sum_1^n \frac{x}{2^{k}}) $

$f(x)-f(\frac{x}{2^{n}} )=Ax(1-2^{-n})+o((1-2^{-n}))x)$

$f(x)-f(0)=Ax+o(x)$

$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} =A$

我自己感觉证明是对的,想请教一下大家的意见
发表于 2017-8-9 07:52:27 | 显示全部楼层
正确无误。
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 楼主| 发表于 2017-8-9 09:26:46 | 显示全部楼层

好的,谢谢H老师
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