博士数学论坛

查看: 396|回复: 8

[数学分析] 判断给出的证明是否正确

[复制链接]
发表于 2017-8-8 21:01:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
设函数$f(x)在x=0$连续,并且$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(2x)-f(x)}{x} =A$,求证:$f'(0)$存在,且$f'(0)=A$

对如下证法给出评论,认为正确请说明理由,认为不正确请给出反例

证:$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(2x)-f(x)}{x} =A\Rightarrow f(2x)-f(x)=Ax+o(x)$

$f(\frac{x}{2^{k-1}})-f(\frac{x}{2^{k}})=A\frac{x}{2^{k}}+o(\frac{x}{2^{k}})$

$\sum_1^n[ f(\frac{x}{2^{k-1}})-f(\frac{x}{2^{k}})]=A\sum_1^n \frac{x}{2^{k}}+o(\sum_1^n \frac{x}{2^{k}}) $

$f(x)-f(\frac{x}{2^{n}} )=Ax(1-2^{-n})+o((1-2^{-n}))x)$

$f(x)-f(0)=Ax+o(x)$

$f'(0)=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} =A$

我自己感觉证明是对的,想请教一下大家的意见
发表于 2017-8-9 07:52:27 | 显示全部楼层
正确无误。
回复

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2017-8-9 09:26:46 | 显示全部楼层

好的,谢谢H老师
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2017-8-25 14:41:27 | 显示全部楼层
裴礼文P205的留念题.我觉得证明有问题
为了看得更清楚一些,我们将倒数第三式改写成
\[\frac{1}{1-2^{-n}}[f(x)-f(\frac{x}{2^{n}} )-Ax(1-2^{-n})]=o(x)\]
现在我们希望在上式两边令$n\to +\infty$取极限.问题在于
\[\lim_{n\to +\infty}o(x)=o(x)\]
是否成立
也就是一列函数每个都是$x$的高阶无穷小那么极限函数也是$x$高阶无穷小吗.
考虑反例
\[f_n(x)=x[1-(1-x)^n],x\in (0,1]\]
\[\lim_{n\to +\infty}f_n(x)=f(x)=x\]
\[\lim_{x\to 0^+}\frac{f_n(x)}{x}=\lim_{x\to 0^+}1-(1-x)^n=0\]
$f_n(x)=o(x)$但是即使$f_n\rightrightarrows f$仍不能保证$f(x)=o(x)$
回复 支持 1 反对 0

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2017-8-25 17:44:10 | 显示全部楼层
TangSong 发表于 2017-8-25 14:41
裴礼文P205的留念题.我觉得证明有问题
为了看得更清楚一些,我们将倒数第三式改写成
\[\frac{1}{1-2^{-n}}[f ...


$\lim_{n\to +\infty}o(x)=o(x)$ 是什么意思,笔误吗?
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2017-8-25 18:36:23 | 显示全部楼层
银铃锦帆 发表于 2017-8-25 17:44
\lim_{n\to +\infty}o(x)=o(x) 是什么意思,笔误吗?

形式记号而已.$o(x)$本来也不是一个特定的函数,应该理解为一个集合
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2017-8-26 10:27:17 | 显示全部楼层
TangSong 发表于 2017-8-25 14:41
裴礼文P205的留念题.我觉得证明有问题
为了看得更清楚一些,我们将倒数第三式改写成
\[\frac{1}{1-2^{-n}}[f ...


一般的是不对,可是这里特殊的情形还是有
$$\sum_{k=1}^{\infty} o(\frac{x}{2^k})=o(x)$$
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2017-8-26 15:56:50 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2017-8-26 10:27
一般的是不对,可是这里特殊的情形还是有
\sum_{k=1}^{\infty} o(\frac{x}{2^k})=o(x) ...


我觉得这个表达式左边不能定义啊
$o(x)$应该理解成一个函数集合里面的某一个函数。不强调定义域的话
\[o(x)=\left\{f(x)|\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0\right\}\]
一般我们写
\[o(x)+o(x^2)=o(x)\]
意思应该是$f(x),g(x)$满足
\[f(x)\in o(x),g(x)\in o(x^2)\]
则\[f(x)+g(x)\in o(x)\]
对于固定的$k$,$o(x)$和$o(\frac{x}{2^k})$其实是同一个集合
所以那个求和对有限和是对的.但是无限和的话连收敛性都不能保证
课本上也没这样对无穷小量求级数和的吧
回复 支持 1 反对 0

使用道具 举报

发表于 2017-8-26 16:22:57 | 显示全部楼层
楼上正确。严格说来,楼主的证明是有瑕疵的。应该按照$\varepsilon-\delta$语言严格叙述,而不是采用模糊的高阶无穷小记号(有限个高阶无穷小之和是高阶无穷小,这个没问题。无穷个高阶无穷小之和的叙述应该避免)。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

快速回复 返回顶部 返回列表