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[数学分析] 请教一道导数证明题

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发表于 2017-3-7 12:46:11 | 显示全部楼层 |阅读模式
函数$f$在$(-1,1)$上二阶可微,$f(0)=f'(0)=0$,且在该区间上成立不等式$|f''(x)|\leq |f(x)|+|f'(x)|$,证明:$f(x)\equiv 0.$

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发表于 2017-3-7 14:30:09 | 显示全部楼层
参考《数学分析的典型理论和基本方法》刘立山,孙钦福主编。
 楼主| 发表于 2017-3-7 15:25:13 | 显示全部楼层
ostg 发表于 2017-3-7 14:30
参考《数学分析的典型理论和基本方法》刘立山,孙钦福主编。


一般只证到$\exists \delta > 0, \forall x ∈ (− \delta,  \delta), f(x)\equiv  0.$
发表于 2017-3-7 22:08:19 | 显示全部楼层
设$x_0$是$|f'(x_0)|$在$[-1/2,1/2]$上取得最大值的点,由Lagrange中值定理有
\[
  f'(x_0) - f'(0) = x_0 f''(\theta x_0),0< \theta < 1.
  \]
故结合已知,有
\[
  |f'(x_0) | = |x_0| |f''(\theta x_0)| \leq |x_0| (|f'(\theta x_0) | + |f(\theta x_0)| ) \leq |x_0| (|f'(x_0) + |f(\theta x_0)|).
  \]
因$f(\theta x_0) = \displaystyle \int _0^{\theta x_0} f'(t) d t$,故$|f(\theta x_0)| \leq \bigg|\displaystyle \int_0^{\theta x_0} |f'(t)| d t \bigg| \theta |x_0| |f'(x_0)|$。因此
\[
  |f'(x_0)| \leq |x_0|(|f'(x_0)| + \theta |x_0||f'(x_0)|) = (|x_0| + \theta x_0^2)|f'(x_0)|.
  \]
因$|x_0| + \theta x_0^2 < 1$,故$f'(x_0) = 0$,这说明$f'(x) = 0$,$\forall x \in [-1/2,1/2]$。又因$f(0) =0$,故$f(x) = 0$,$\forall x \in [-1/2,1/2]$。取$\varepsilon$,$0<\varepsilon < 1/2$,设$x_1$是$|f'(x)|$在$[1/2,1-\varepsilon]$上取得最大值的点。由Lagrange中值定理,有
\[
  f'(x_1) - f'\Big(\frac{1}{2}\Big) = \Big(x_1 - \frac{1}{2}\Big) f''\Big(\frac{1}{2} + \theta_1 \Big(x _1 - \frac{1}{2}\Big)\Big),0 < \theta_1 < 1.
  \]

\[
  |f'(x_1)| = \Big|x_1 - \frac{1}{2}\Big|\Big|f''\Big(\frac{1}{2} + \theta_1 \Big(x_1 - \frac{1}{2}\Big)\Big)\Big| \leq \Big(x_1 - \frac{1}{2}\Big) (|f'(\xi)| + |f(\xi)|) \leq (|f'(x_1)| + |f(\xi)|)
  \]
(记$\xi = 1/2 + \theta_1(x_1 - 1/2)$)。而
\[
  |f(\xi)| = \bigg|\int_{\frac{1}{2}}^{\xi} f'(t)  d t \bigg| \leq \int_{\frac{1}{2}}^{\xi} |f'(t)| d t \leq \theta_1 \Big(x_1 - \frac{1}{2}\Big) |f'(x_1)|.
  \]
于是,$f(x)$在$[1/2,1-\varepsilon]$上恒为$0$,因$\varepsilon > 0$可任意小,故$f(x) = 0$,$\forall x \in [-1/2,1)$。同理可证,当$x \in (-1,1/2]$时,$f(x)=0$。   
发表于 2017-3-9 07:53:26 | 显示全部楼层
小毒物 发表于 2017-3-7 22:08
设x_0是|(x_0)|在[-1/2,1/2]上取得最大值的点,由Lagrange中值定理有
\[
  (x_0) - (0) = x_0  ...


能澄清一些吗?不要引进那么多记号。
发表于 2017-3-9 09:14:30 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2017-3-9 07:53
能澄清一些吗?不要引进那么多记号。

上面那个解答是我以前做谢惠民习题集的时候向别人请教的,记号太多,我也没有办法
发表于 2017-8-10 09:40:25 | 显示全部楼层
简单的问题应该有简单的解法。
发表于 2017-11-26 06:10:39 | 显示全部楼层
不落俗套才有简洁的解法。
发表于 2017-11-26 06:40:51 来自手机 | 显示全部楼层
取区间$[0,1/2]$,设$|f'(x)|$在此区间的最大值$M$在点$a$取得。则\[|f(x)|=|\int_0^xf'(t)dt|≦\int_0^x |f'(t)|dt≦Mx≦M/2\]。而某个$b$使得\[|f''(b)|=|f'(a)-f'(0)|/a≧M/a≧2M\]。从而\[2M≦|f''(b)|≦|f'(b)|+|f(b)|≦M+M/2\]→$M=0$。剩下的就不说了。
发表于 2017-11-30 11:25:46 | 显示全部楼层
还是没有见到令人耳目一新的证明。

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