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[数学分析] 定积分不等式证明

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发表于 2017-1-9 20:50:20 |显示全部楼层
设$f(x)$在$[a,b]$上连续可微,且$|f'(x)|\leq M,\forall x\in [a,b].$ 证明

$$|\int_{a}^{b}f(x)dx-\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)|\leq \frac{1}{4}M(b-a)^2$$
(利用中值定理,很容易证明左端$\leq \frac{1}{2}M(b-a)^2$,如何能缩小至$\leq \frac{1}{4}M(b-a)^2$,想了好久,也没能用上连续可微的条件,求助)
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发表于 2017-1-9 22:45:33 |显示全部楼层
类似的问题,论坛上已经解答过多次,可以考虑在$a,b$两端的Taylor展开式.
赠人玫瑰,手留余香......
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发表于 2017-1-10 21:52:43 |显示全部楼层
2px4 发表于 2017-1-9 22:45
类似的问题,论坛上已经解答过多次,可以考虑在a,b两端的Taylor展开式.

找了半天也没找到类似的帖子,两个端点处利用taylor展开,还是没什么思路
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发表于 2017-1-11 17:16:03 |显示全部楼层
若再加上条件$f(a)=f(b)$, 则容易证明.
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发表于 2017-1-12 18:56:37 |显示全部楼层
$$\eqalign{
  & \left| {\mathop \int  \limits_a^b f(x)dx - \frac{{f(a) + f(b)}}{2}(b - a)} \right| = \left| {\mathop \int \limits_a^{\frac{{a + b}}{2}} [f(x) - f(a)]dx + \mathop \int \limits_{\frac{{a + b}}{2}}^b [f(x) - f(b)]dx} \right|  \cr
  &  \leqslant \left| {\mathop \int \limits_a^{\frac{{a + b}}{2}} [f(x) - f(a)]dx} \right| + \left| {\mathop \int \limits_{\frac{{a + b}}{2}}^b [f(b) - f(x)]dx} \right|  \cr
  &  = \left| {\mathop \int \limits_a^{\frac{{a + b}}{2}} f'({\xi _1})(x - a)dx} \right| + \left| {\mathop \int \limits_{\frac{{a + b}}{2}}^b f'({\xi _2})(b - x)dx} \right|  \cr
  &  \leqslant M\left( {\mathop \int \limits_a^{\frac{{a + b}}{2}} (x - a)dx + \mathop \int \limits_{\frac{{a + b}}{2}}^b (b - x)dx} \right) = \frac{M}{4}{(b - a)^2} \cr} $$
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发表于 2017-1-12 19:01:53 |显示全部楼层
偶的积分符号实在是小了一点,见谅了。
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发表于 2017-1-12 20:31:26 |显示全部楼层
ggg_000_111 发表于 2017-1-12 19:01
偶的积分符号实在是小了一点,见谅了。

$XXX$应该改成\[XXX\]
天下之至柔,驰骋天下之至坚。
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发表于 2017-1-13 18:42:11 |显示全部楼层
ggg_000_111 发表于 2017-1-12 18:56
\eqalign{
  & \left| {\mathop \int  \limits_a^b f(x)dx - \frac{{f(a) + f(b)}}{2}(b - a)} \right| = ...

原来如此,谢谢
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