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[高等代数] 行列式一题

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发表于 2017-1-8 15:16:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
设$n\left( {n > 2} \right)$阶行列式$\left| A \right|$的所有元素或为$1$或为$ - 1$,则$$abs\left( {\left| A \right|} \right) \le {2 \over 3}n!.$$




 楼主| 发表于 2017-1-8 15:18:16 | 显示全部楼层
由归纳法,可得$$abs\left( {\left| A \right|} \right) \le \left( {n - 1} \right)!\left( {n - 1} \right),$$
但如何得到这个加强的结论呢?
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发表于 2017-1-8 17:51:32 | 显示全部楼层
$n=2$时就不成立吧?
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发表于 2017-1-8 18:57:23 | 显示全部楼层
一个不简明的思路

用 Hadamard 不等式,对 $n>3$,
$$|\mathrm{det}(A)|\leq n^{n/2}\leq \frac{2}{3}n!$$

https://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard%27s_inequality

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印象中北大某年高代考研的一道题就是这样解的  发表于 2017-1-8 21:05
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发表于 2017-1-9 15:35:12 | 显示全部楼层
楼下都已经说了$n=2$不对, 楼主可以考虑修改一下.
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 楼主| 发表于 2017-1-9 17:38:07 | 显示全部楼层
shuxue1985 发表于 2017-1-9 15:35
楼下都已经说了n=2不对, 楼主可以考虑修改一下.

已改,手残打成了大于等于了。
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 楼主| 发表于 2017-1-9 17:39:35 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2017-1-8 18:57
一个不简明的思路

用 Hadamard 不等式,对 n>3,

能力不足,放弃了,先标记下。
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发表于 2017-1-9 19:49:59 | 显示全部楼层
zwno1 发表于 2017-1-9 17:39
能力不足,放弃了,先标记下。

那个不等式就是面积的意思
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发表于 2017-1-13 08:58:49 | 显示全部楼层
用归纳法证明。记行列式$D_n$
当$n=3$时,用初等变换将$D_3$第一列全变成1(每行乘以1或者-1即可),再将第一行变为$(1, 0 , 0)$其余元素为0或2。
于是$|D_3|≤4=\frac{2}{3}×3!$
设结论对$n-1$成立,则
$|D_n|=|a_{11}A_{11}+\cdots+a_{1n}A_{1n}|≤|A_{11}|+\cdots+|A_{1n}|≤\frac{2}{3}(n-1)!n=\frac{2}{3}n!$
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