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[考研真题] 2017年北京大学数学分析真题。

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发表于 2016-12-25 13:46:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
时间原因,先发图片,有心人编辑一下!谢谢!

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想编辑来着,实在是看不清楚,能不能拍清楚些啊.  发表于 2016-12-25 15:31

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发表于 2016-12-25 16:13:37 | 显示全部楼层
出来的好快啊
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发表于 2016-12-25 16:23:50 | 显示全部楼层
2017年北京大学硕士研究生数学分析真题

1.(10分) 证明:$$\lim_{n \to +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin ^nx}{\sqrt{\pi -2x}}dx.$$

2.(10分) 证明:$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{1+nx^2}\sin \frac{x}{n^\alpha }$在任何有限区间上一致收敛的充要条件是:$\alpha > \frac{1}{2}$.

3.(10分) 设$\sum_{n=1}^{\infty }a_n$收敛.证明$$\lim_{s\rightarrow 0+}\sum_{n=1}^{\infty }a_nn^{-s}=\sum_{n=1}^{\infty }a_n.$$

4.(10分) 称$\gamma (t)=(x(t),y(t))$,$(t\in $属于某个区间$I)$是$\mathbb{R}^1$上$C^1$向量场$(P(x,y),Q(x,y))$的积分曲线,若${x}'(t)=P(\gamma (t))$,${y}'(t)=Q(\gamma (t)),\forall t\in I$,设$P_x+Q_y$在$\mathbb{R}^1$上处处非零,证明向量场$(P,Q)$的积分曲线不可能封闭(单点情形除外).

5.(20分) 假设$x_0=1,x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1},(n=1,2,\cdots )$,证明:当$x\rightarrow \infty $时,$x_n-\frac{\pi }{2}=o(\frac{1}{n^n})$.

6.(20分) 假设$f\in [0,1],\lim\limits_{x\rightarrow 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\alpha < \beta =\lim\limits_{x\rightarrow 1-}\frac{f(x)-f(0)}{x-1}$,证明:$$\forall \lambda \in [\alpha ,\beta ],\exists x_1,x_2\in [0,1],s.t. \lambda =\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$











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发表于 2016-12-25 17:27:37 | 显示全部楼层
谢谢楼上老兄,我快要排版出来了,先占个坑,完成后再发出来,你们不要和我争
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发表于 2016-12-25 17:37:58 | 显示全部楼层
陶哲轩小弟 发表于 2016-12-25 17:27
谢谢楼上老兄,我快要排版出来了,先占个坑,完成后再发出来,你们不要和我争 ...


早说啊.好吧,我不抢功了,我也快排好了,就此打住了,辛苦了.
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发表于 2016-12-25 18:24:04 | 显示全部楼层
修改了一些错误,再次上传。
感谢楼上哈,有点小错误,我纠正了。把你名字也放进PDF了,啊哈哈。


5. (20分) 假设$\displaystyle x_0=1,x_n=x_{n-1}+\cos x_{n-1}(n=1,2,\cdots )$,证明:当$x\rightarrow \infty $时, $\displaystyle x_n-\frac{\pi }{2}=o\left(\frac{1}{n^n}\right)$.



6.  (20分)假如$\displaystyle f\in C[0,1],\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=\alpha<\beta=\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$.证明: $\forall \lambda\in (\alpha,\beta),\exists x_1,x_2\in [0,1]$使得$\displaystyle \lambda=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.

7. (20分)设$f$是$(0,+\infty)$上的凹(或凸)函数且$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}xf'(x)=0$ (仅在$f$可导的点考虑极限过程).

8. (20分)设$\phi\in C^3(\mathbb{R}^3)$, $\phi$及其各个偏导数$\partial_i\phi(i=1,2,3)$在点$X_0\in \mathbb{R}^3$处取值都是$0$. $X_0$点的$\delta$邻域记为$U_\delta(\delta>0)$.如果$\left(\partial_{ij}^2\phi(X_0)\right)_{3\times 3}$是严格正定的,则当$\delta$充分小时,证明如下极限存在并求之:\[\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } t^{\frac32}\iiint_{{U _\delta }} {{e^{ - t\phi\left( {x_1,x_2,x_3} \right)}}\,dx_1dx_2dx_3} .\]


9. (30分) 将$(0,\pi)$上常值函数$f(x)=1$进行周期$2\pi$奇延拓并展为正弦级数:\[f(x)\sim \frac4\pi\sum_{n=1}^\infty \frac1{2n-1}\sin (2n-1)x.\]
该Fourier级数的前$n$项和记为$S_n(x)$,则$\displaystyle \forall x\in (0,\pi),S_n(x)=\frac2\pi\int_0^x\frac{\sin 2nt}{\sin t}dt$,且$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n(x)=1$.证明$S_n(x)$的最大值点是$\displaystyle \frac\pi{2n}$且$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n\left(\frac\pi{2n}\right)=\frac 2\pi \int_0^\pi\frac{\sin t}t dt$.

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  发表于 2016-12-25 19:36

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发表于 2016-12-25 19:41:47 | 显示全部楼层
今年是第一次没出实数系理论那些定理证明题吧。
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发表于 2016-12-25 23:24:16 | 显示全部楼层
题目看起来是有难度

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的确  发表于 2016-12-28 11:33
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 楼主| 发表于 2016-12-26 08:32:48 | 显示全部楼层
谢谢陶哲轩小弟,由于比较紧急所以发了图片。如果觉得不清晰,请看看第二张图片或者看6楼的文档。

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发表于 2016-12-26 17:00:32 | 显示全部楼层
留个脚印吧,当年也去考过,没过
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