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Galois理论

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发表于 2016-9-17 10:51:30 | 显示全部楼层 |阅读模式
   

   相信每个数学系的本科生都学过抽象代数,那就必然听过高大上的Galois理论.我们问:究竟什么是Galois理论?Galois理论最一般的形式是如何的呢?之所以想研究这个问题,是因为在知乎上看到这两篇文章
三次对应一次与两次对应零次——Galois connection (上)
三次对应一次与两次对应零次——Galois connection (下)
这两篇文章是清华数学系的一个本科生写的,文章讨论了Galois connection,并且列举了许多常见的例子,也通俗易懂,写得非常有趣.建议先看看这两篇文章.
    关于Galois理论的介绍,可见维基百科:
1 经典Galois理论.
2 Grothendieck's Galois theory.
3 Differential_Galois_theory
    本帖子的目的就是研究Galois理论最一般的形式是什么,Galois理论的本质是什么这个问题.就当是读书笔记吧.先开个头,不定时更新,欢迎探讨.




我们的起点,需要的基础大概如下:
1  基本的范畴论知识.
2  本科水平的抽象代数和经典的Galois理论.
3  基本的代数拓扑,至少学过复叠空间和基本群.

参考文献如下:
1  Galois Theories 作者: Francis Borceux / George Janelidze  出版社: Cambridge University Press
2  Galois Groups and Fundamental Groups 作者: Tamás Szamuely
3  李文威老师写过一个科普文从 Galois 理论谈起


框架是这样的



那么我们就从一个定义出发吧,探索美妙的数学之旅!

定义1:设$ (X,\leq),(Y,\leq) $是两个偏序集,$ X $与$ Y $之间的一个正序Galois connection由两个映射$ f:X\to Y,~g:Y\to X $组成,它们是保持正序的:
\[ a\leq b \implies f(a)\leq f(b) \qquad c\leq d \implies g(c)\leq g(d) \qquad \forall a,b\in X,~\forall c,d\in Y. \]
并且还满足
\[ f(a)\leq b \iff a\leq g(b). \]
$ X $与$ Y $之间的一个反序Galois connection由两个映射$ f:X\to Y,~g:Y\to X $组成,它们是保持反序的:
\[ a\leq b \implies f(a)\geq f(b) \qquad c\leq d \implies g(c)\geq g(d) \qquad \forall a,b\in X,~\forall c,d\in Y. \]
并且还满足
\[ b\leq f(a) \iff a\leq g(b). \]

我们来看一些例子:
例1  一个最简单的数学分析(拓扑)的例子就是:
设$ f:X\to Y $是集合之间的映射,对于$ X $的任意一个子集$ A $,定义$ f(A):=\{f(x)~|~x\in A\} $;对$ Y $的任意一个子集$ B $,定义$ f^{-1}(B):=\{x~|~f(x)\in B \} $.考虑$ A,B $的幂集$ \mathscr{P}(A),\mathscr{P}(B) $以及偏序关系$ \subset $.这是正序Galois connection.

例2  一个线性代数的例子:
考虑内积空间$ X $,对$ X $的任意一个线性子空间$ M $,定义$ M^{\perp}:=\{x\in X~|~<x,a>=0,\forall a\in M\} $,它也是线性子空间,且有
     \[ M^{\perp\perp\perp} =M^{\perp}.\]
     这是反序Galois connection.

例3  最重要的例子就是经典的Galois对应:
考虑域的有限扩张$ K/F, $每个中间域$ L $对应固定群$ Gal(K/L) $,$ Gal(K/F) $的每个子群$ H $对应不动域$ Inv(H). $这是反序Galois connection.

例4  在交换代数中我们常常考虑理想的扩张与局限,即给定两个交换幺环$ A,B $以及环同态$ f:A\to B $.$ B $的理想$ \mathfrak{b} $对应在$ A $中的局限$ \mathfrak{b}^{c}:=f^{-1}(\mathfrak{b}) ,$反之$ A $中的理想$\mathfrak{ a} $对应在$ B $中的扩张$ \mathfrak{a}^{e}:=f(\mathfrak{a})B. $这是正序Galois connection.

例5  另一个重要例子是代数拓扑中:
设$ X $是一个道路连通的拓扑空间,任意一个$ X $的道路连通的复叠空间$ E $都对应基本群$ \pi_{1}(X) $的一个子群,反之基本群对应一个$ X $的道路连通的复叠空间.

事实上,对上面熟悉的例子,我们知道所谓Galois connection有如下重要性质:
性质1(反序时两次大于零次)
反序时,
\[ a\leq g\circ f(a),\qquad b\leq f\circ g(b). \]
正序时,
\[  a\leq g\circ f(a),\qquad b\geq f\circ g(b). \]
性质2(三次对应一次)
设是$ X\xrightarrow{f}Y,Y\xrightarrow{g} X $是正序(或反序)Galois connection,则
\[ f\circ g \circ f=f ,\qquad g \circ f \circ g=g. \]
性质3(在各自子集上有一个双射)
记$ X_{1}=g(Y),Y_{1}=f(X)$,则
\[ g\circ f|_{X_{1}}=1,\qquad f\circ g|_{Y_{1}}=1. \]
注记
事实上,学过范畴学的童鞋知道,一个偏序集可以看成一个小范畴,上述Galois connection其实就是两个偏序集之间的一个伴随对,而上面几条性质可以推广到一般的范畴间的伴随对.反之,Galois connection可以作为例子用来理解伴随对的概念.后面我们再来作这个工作.

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发表于 2016-9-17 11:09:09 | 显示全部楼层
not exactly, 很多本科没有学过
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发表于 2016-9-18 08:41:06 | 显示全部楼层
第二幅图中的老师是Grothendieck吗?

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是的  发表于 2016-9-18 14:01
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 楼主| 发表于 2016-9-18 14:03:37 | 显示全部楼层


此楼简单回顾一下经典Galois理论.请大家回忆相关概念定义定理证明,随便一本抽象代数的课本都能找到.例如有限扩张、代数扩张、极小多项式、代数闭包等等.


单扩张的结构

设$E/F$是域扩张,$a \in E$,考虑下面$F-$同态
                \begin{align}
                \sigma:F[X]&\longrightarrow E \notag\\
                X &\longmapsto a  \notag  \\
                 b\in F &\longmapsto b \notag
                \end{align}
  
        若$ker \sigma$为$0$,则$F[X]\simeq
        F[a]$,称$a$为超越元;否则,有$F[X]/(p(x))\simeq
        F[a]$,此时称$a$为代数元,首一不可约多项式$p(x)$称为$a$的极小多项式,它的次数叫做代数元的次数.

1 单超越扩张的结构
        对上述定义的超越元$a$,我们已经知道$F[X]\simeq F[a]$,于是
        \[ F(a)\simeq F(X) \]  
2 单代数扩张的结构
        对上述定义的代数元$a$,我们知道$F[X]/(p(x))\simeq F[a]$,可证
        \[ F(a)=F[a] \]
        以及$[F(a):F]=deg~p(x).$


嵌入的延拓与多项式的根的一一对应关系

设$F(a)/F$是单扩张,$\Omega$是包含$F$的代数封闭域,则

1  若$a$是$F$上超越元,对每个$F-$同态$\varphi:F(a)\to \Omega$,
        $\varphi (a)$是$F$上的超越元,且映射$\varphi \mapsto \varphi (a)$给出了如下一一对应
        \[\{F-\text{同态}~\varphi:F(a)\to \Omega \} \rightleftarrows  
        \{~\Omega~\text{中在F上的超越元}\}\]
       
2  若$a$是$F$上代数元,$f(x)$是$a$的极小多项式.
        对每个$F-$同态$\varphi:F(a)\to \Omega$,
        $\varphi (a)$是$f(x)$在$\Omega$中的根,且映射$\varphi \mapsto \varphi (a)$给出了如下一一对应
        \[\{F-\text{同态}~\varphi:F(a)\to \Omega \} \rightleftarrows
        \{f(x)~\text{在$~\Omega$中的根}\}\]
        特别地,$F$到$\Omega$的嵌入不同的延拓个数等于$f$在$\Omega$中不同根的个数.


正规扩张

正规扩张有如下等价定义:
设$F\subset E \subset F^{a}$,其中$E/F$是代数扩张,$ F^{a} $是$ F $的一个代数闭包,则下列等价
1  $E$到$F^{a}$的每个$F$-嵌入都诱导$E$的一个自同构;
2  $E$是$F[X]$中一些多项式的分裂域;
3  $F[X]$中的每个不可约多项式,若它在$E$中有一根,则它在$E$中分裂.


可分扩张

定义
        在域扩张$E/F$中,若代数元$x\in
        E$的极小多项式在其分裂域上无重根,则称$x$为可分元.设$E/F$为代数扩张,如果每个$ E $中的元都是可分元,则称$E/F$为可分扩张.


有限Galois定理

由可分性和正规性的定义可知Galois扩张无非是一族无重根不可约多项式的分裂域.下面先讨论Galois扩张的一些初步性质,罗列如下:
1  扩张$ L/F $ 为Galois $ \implies ~$对任意的中间域$ E $,扩张$ L/E
        $仍为Galois.
2  设$ L/F,~M/F $为$ \Omega /F $的子扩张,则$ L/F $为Galois $ \implies
        ~LM/M$为Galois.
3  在给定扩张$ \Omega /F $中,任意一族Galois子扩张的复合与交仍是Galois扩张.
4  对有限Galois扩张恒有$ |Gal(E/F)|=[E:F]. $

我们引进Galois理论中一对关键的操作.对于任意的扩张$ E/F $:

1  对$ Aut_{F}(E) $的子群$ H $,定义其不动域$ E^{H}:=\{x\in E:\forall
        \sigma \in H,~\sigma(x)=x\} .$
2  对于$ E/F $的子扩张$ K/F $,定义$ Aut_{F}(E) $的子群$ ~Aut_{K}(E). $

于是我们得到
\[ \{\text{中间域$ K $}\} \leftrightarrows \{\text{子群} H \subset Aut_{F}E\}\]
\[ K/F \longmapsto Aut_{K}E \]
\[ E^{H}/F \longleftarrow H \]
这对映射有如下初等性质:
1  上面两边都对$ \subset $构成偏序集,而这对映射是反序
        \[ H_{1}\subset H_{2}\implies E^{H_{1}} \supset E^{H_{2}},\qquad
        K_{1}\subset K_{2}\implies Aut_{K_{1}}(E)\supset Aut_{K_{2}}(E).\]
2   两次大于零次
        \[ K\subset E^{Aut_{K}(E)},\qquad H \subset Aut_{E^{H}}(E). \]
       
3   群$ Aut_{F}(E) $在映射两边的集合都有左作用:在中间域上是$
        (\sigma,K)\mapsto \sigma(K) $,在子群上的作用是共轭$ (\sigma,H)\mapsto \sigma
        H \sigma^{-1} $,其中$ ~\sigma \in Aut_{F}E,$且满足如下关系:
        \[ Aut_{\sigma(K)}(E)=\sigma Aut_{K}(E)\sigma^{-1},\qquad E^{\sigma H
                \sigma^{-1}}=\sigma(E^{H}) .\]
注记:
第1,2条是说这是一个Galois connection,第三条才是真正本质的.

有限扩张的Galois定理(有限Galois对应):
设$ E/F $是有限Galois扩张,则有如下互逆的双射
        \begin{align}
        \{\text{中间域}K\} &\rightleftarrows \{\text{子群}H\subset Gal(E/F)\}
        \notag\\
K/F        &\longrightarrow Gal(E/K) \notag\\
E^{H}/F         &\longleftarrow   H \notag
        \end{align}
并满足以下性质:

1  反序:$ H_{1}\subset H_{2}\iff E^{ H_{1}}\supset E^{ H_{2}} $且$
        K_{1}\subset K_{2}\iff Aut_{K_{1}}(E)\supset Aut_{K_{2}}(E). $
2  双射对于$ Gal(E/F) $在两边的左作用是等变的,并且给出正规子群$
        H\vartriangleleft Gal(E/F) $和Galois子扩张的一一对应.
3  对任何中间域$ K $皆有双射
                \begin{align}
                Gal(E/F)/Gal(E/K)& \simeq Hom_{F}(K,E)\notag\\
        \sigma \cdot Gal(E/K)        &\mapsto \sigma |_{K}\notag
                \end{align}
                而且$ (Gal(E/F):Gal(E/K) =[K:F]$.当$ K/F $是Galois扩张时,上式导出群同构
                \[ Gal(E/F)/Gal(E/K)\simeq Gal(K/F). \]
                特别地,$ |Gal(E/F)|=[E:F] .$


参考文献:代数学方法:卷一 李文威 (未出版).

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发表于 2016-9-19 20:16:31 | 显示全部楼层
楼主的学习效率好高。
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发表于 2016-9-19 21:11:42 | 显示全部楼层
谢谢楼主分享学习笔记!
这里补充一本GTM101,其中可以看到Galois原文的英译版:
Edwards, Harold M.
Galois theory.
Graduate Texts in Mathematics, 101.
Springer-Verlag, New York, 1984. xiii+152 pp. ISBN: 0-387-90980-X
1997年Springer重印了这本书。

如果还要提到这方面的经典的话,那就是下面这本Artin第二版于1944年的小书:
Artin, Emil
Galois theory.
Edited and with a supplemental chapter by Arthur N. Milgram.
Reprint of the 1944 second edition.
Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 1998. iv+82 pp. ISBN: 0-486-62342-4

点评

是的,你所提到都是非常经典的文献。但是都是比较古典的情形,关于解方程的,我希望理解现代的 Galois理论。  发表于 2016-9-20 23:38
多点了一下,重复发了两次,请版主删除其中之一,谢谢!  发表于 2016-9-19 21:21
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发表于 2016-9-20 08:51:07 | 显示全部楼层
两篇非常好的文章

















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发表于 2016-9-30 18:41:19 | 显示全部楼层
补充一本优秀的国内著作:章璞教授有一本《伽罗瓦理论》的讲义,非常凝练的风格,可读性也很强~
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发表于 2016-10-4 12:04:02 | 显示全部楼层
谢谢楼主的分享
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发表于 2016-10-5 14:35:08 | 显示全部楼层
1楼的框架图是用什么做的?
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