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探讨微积分的教学

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钟家庆勋章 华罗庚勋章

发表于 2016-4-27 19:06:00 |显示全部楼层
最近教微积分, 有不少体会(吐槽)

一, 不定积分完全体现不出 " 积分 " 这个名称,

   已知导数, 求原函数, 如果猜不出那个原函数, 那么如何求出(画出)那个函数呢?

   如果用微分的意义, 把微分叠加( 把那些微分三角叠加), 就可以画出原来函数的草图, 这个从图和数值都可以实现的.

二, 微分 $dy$ 的定义与导数的定义脱节. 也不讲它可以用来表现函数的瞬间增长等等这些直观.

三, 微分 $\Delta x=dx$ 的说明很牵强.

四, 什么是微分?

   我觉得这个概念不容易讲好, 这也从另外一个方面说明, 从函数中提取线性部分这个"微分" 的运算的确是一个伟大的发明(我倾向于这是发明,不是发现)
   对于我们老师来说, 似乎上升到把微分看成线性泛函去理解会更好一些吧.




   
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配图并推首页  发表于 2016-4-29 11:30

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发表于 2016-4-27 20:24:44 |显示全部楼层

一. 不定积分一般在定积分前面讲,因此体现不出“积分”。

三. $\Delta x=dx$的确是很牵强,感觉没讲清楚。最近我也碰到这个事。
http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/
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发表于 2016-4-27 20:33:26 |显示全部楼层

我发现非数学专业的同学对Taloy公式,还有微分中值定理证明这一块感觉到很困难。教学时没重点训练?
http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/
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发表于 2016-4-27 20:39:58 |显示全部楼层

常庚哲 史济怀的《数学分析》 第三章讲导数  微分学的中值定理,实际上微分学是什么?不知道。 第四章才介绍到微分的概念。
http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/
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发表于 2016-4-27 20:54:11 |显示全部楼层
本帖最后由 herbertfederer 于 2016-4-27 20:56 编辑
zwb565055403 发表于 2016-4-27 20:33
我发现非数学专业的同学对Taloy公式,还有微分中值定理证明这一块感觉到很困难。教学时没重点训练? ...


微分中值定理我上一周教完, 学生似乎没有觉得有困难.
把辅助函数画出来: 即把函数 $y=f(x)$ ,  $y=f(a)+k(x-a)$  以及它们相减的函数都画在一起, 就可以让学生看到如何转换成 Rolle 中值定理.

最后再点评一下, 整体走向影响了内部起码一个点的走向 --- 反之, 内部一点的走向也可以波及整体走向等等直观.

Tanylor 公式还没有讲到.

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yxw10    

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发表于 2016-4-27 21:40:54 |显示全部楼层
我觉得一元部分没必要讲微分,导数就行了。
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发表于 2016-4-27 22:21:24 |显示全部楼层
本帖最后由 herbertfederer 于 2016-4-27 22:25 编辑
yxw10 发表于 2016-4-27 21:40
我觉得一元部分没必要讲微分,导数就行了。


这样的话, $\int df$ 就没办法讲了.

一元微分为啥比多元微分难讲呢? 我想, 应该是导数惹的祸. 导数太容易接受了, 结果学生都只是抓住导数, 形成了思维定式, 头脑固化.

导数的对应物 Jacob 矩阵比起多元的微分要难表达清楚,  反而是一件好事情.
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yxw10    

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发表于 2016-4-28 00:17:40 |显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2016-4-27 22:21
这样的话, \int df 就没办法讲了.

一元微分为啥比多元微分难讲呢? 我想, 应该是导数惹的祸. 导数太容 ...

狄厄多内也谈到过导数在一元与多元情况下的区别,抱怨现在的“古典”讲法会给未来学习造成困扰。

关于$\Delta x = dx$的问题,我看过好几本书,还是接受不了,所以我对$dx$这个东西比较畏惧。

柯朗&约翰那书就是先讲的积分,后讲的微分。$df$就是借用的莱布尼茨表示法,把$f'dx=df$当成真的来写。用多了倒也习惯,但细想想,好些我还理不清。
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发表于 2016-4-28 08:47:36 |显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2016-4-27 20:54
微分中值定理我上一周教完, 学生似乎没有觉得有困难.
把辅助函数画出来: 即把函数 y=f(x) ,  y=f(a)+ ...


一开始来就从几何上讲,以后碰到要作辅助函数的比较复杂的式子可能就晕了。我觉得先讲讲所谓的待定常数法来构造辅助函数比较好,然后有几何意义的再讲讲几何,这种讲法比较好。例如:

1.证明拉格朗日中值定理: 设$f(x)\in C[a,b]$且在$(a,b)$内可导,那么存在$\xi \in (a,b)$, s.t.

$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Proof. 设$\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.要证即存在$\xi$,s.t. $f'(\xi)-\lambda=0$.

作辅助函数$$g(x)=f(x)-\lambda (x-C),C\in \mathbb{R}$$

有$g(a)=g(b)$,应用Rolle中值定理即可,为简化运算取$C=a$即可.



2.证明$Cauchy$中值定理: 设$f(x),g(x)\in C[a,b]$,且$f(x),g(x)\in C^{1}(a,b),g'(x)\neq 0$,那么存在$\xi \in (a,b)$, s.t.

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

Proof. 设$\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$,要证即存在$\xi \in (a,b)$,s.t. $f'(\xi)-\lambda g'(\xi)=0$.

作辅助函数

$$F(x)=f(x)-\lambda g(x)+C, C\in \mathbb{R}$$

有$F(a)=F(b)$,应用Rolle中值定理即可,为简化运算取$C=0$即可.



3.设$f(x)$在$[a,b]$上二阶可微,且$f(a)=f(b)=0$,证明对每个$x\in (a,b)$存在$\xi \in (a,b)$,s.t.

$$f(x)=\frac{f''(\xi)}{2}(x-a)(x-b)$$

Proof.固定$x \in (a,b)$,设$\lambda=\frac{2f(x)}{(x-a)(x-b)}$,即要证存在$\xi \in (a,b)$,s.t. $f''(\xi)=\lambda$.

作辅助函数$$g(t)=f(t)-\frac{\lambda}{2}(t-a)(t-b)$$

则$g(a)=g(x)=g(b)=0$,在$[a,x]和[x,b]$上分别对$g(t)$应用Rolla中值定理知存在$g'(\xi_{a})=g'(\xi_{b})=0$,在$[\xi_{a},\xi_{b}]$上对$g'(t)$应用Rolle中值定理.

方法二:应用Cauchy中值定理(略)



4. 设$f(x)$在$[a,b]$上连续,在$(a,b)$上可微且有$b>a>0$成立,证明:存在$\xi$,s.t.

$$f(b)-f(a)=\ln \frac{b}{a}\xi f'(\xi) $$

Proof.设$\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{\ln b -\ln a}$,要证即存在$\xi\in(a,b)$s.t. $f'(\xi)-\frac{\lambda}{\xi}=0$

作辅助函数$$g(x)=f(x)-\lambda (\ln x -\ln a)$$

则$g(a)=g(b)=f(a)$, 应用Rolle中值定理即可.

方法二: 直接使用Cauchy中值定理.



5.设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续,在$(a,b)$上可微,其中$g(x)$在$(a,b)$上无零点,证明:存在$\xi\in (a,b)$,s.t.

$$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}$$

Proof.作辅助函数

$$F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(b)-f(a)g(x)$$



6. 设$f$在$[a,b]$上连续,在$(a,b)$上可微,证明:存在$\xi \in (a,b)$,使成立

$$2\xi [f(b)-f(a)]=(b^{2}-a^{2})f'(\xi)$$

Proof: 作辅助函数

$$g(x)=(b^{2}-a^{2})f(x)-[f(b)-f(a)]x^{2}$$

注意:若应用Cauchy中值定理,要讨论条件不满足的情况。

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SCIbird  先学点ODE可能容易理解中值定理辅助函数的构造思路。当初学习时,纯粹是凭经验构造辅助函数。  发表于 2016-5-1 21:20
http://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/
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发表于 2016-4-28 10:30:49 |显示全部楼层
本帖最后由 hayrhen 于 2016-4-28 10:38 编辑

我倒是觉得确界存在定理最麻烦

华东师范的书,还有华罗庚指定0.499999……是标准记法,0.5……是非标准,和正常人的想法不一样

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陈纪修的书最后会出现0.9999……这样的数字是上确界,和前面的标准记法不一样
1.png

像陈纪修这样的解释其实是很牵强的


最狡猾的是张筑生,他给出了必有上确界以后说我们证明等价的下确界
回避了上面两本书里面的问题,但是没有从根本上解决这个问题
2.png


用戴德金的讲法时间不够用
众人皆云我为鬼,撒旦曾经亦为神
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