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[原创解答] 2016中科院考研数学分析解答

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发表于 2016-3-24 07:56:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
gonn同学原创

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发表于 2016-3-25 08:03:17 | 显示全部楼层
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发表于 2016-3-25 09:36:12 | 显示全部楼层
我也发一份吧,大家给瞅瞅

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发表于 2016-3-26 00:07:09 | 显示全部楼层
多谢分享~
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发表于 2016-3-26 03:08:23 | 显示全部楼层
以上解答都有错误。而且第一个解答不是用$\mathrm{\LaTeX}$编辑的。惜哉!
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发表于 2016-3-26 07:45:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 Hansschwarzkopf 于 2016-8-3 06:02 编辑

第5题解答如下:

二曲面的交线是
\[\begin{cases}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{1}{2},\\
z=\frac{c}{\sqrt 2}.
\end{cases}\]

解法一
\[\begin{array}{rl}V&=\displaystyle\int_0^{\frac{c}{\sqrt 2}}dz\iint\limits_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leqslant\frac{z^2}{c^2}}dxdy
+\int_{\frac{c}{\sqrt
2}}^cdz\iint\limits_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leqslant
1-\frac{z^2}{c^2}}dxdy\\
&= \displaystyle\frac{\pi ab}{c^2}\int_0^{\frac{c}{\sqrt
2}}z^2dz+\pi ab
\int_{\frac{c}{\sqrt 2}}^c(1-\frac{z^2}{c^2})dz\\
&=\displaystyle\frac{2-\sqrt 2}{3}\pi abc.
\end{array}\]

解法二
\[\begin{array}{rl}V&=\displaystyle\iint\limits_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leqslant \frac{1}{2}}dxdy\int_{c\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{c^2}}}
^{c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}}dz\\
&=\displaystyle
c\iint\limits_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leqslant
\frac{1}{2}}
\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}-\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}}\right)dxdy\\
&=\displaystyle abc\int_0^{2\pi}d\theta \int_0^{\frac{1}{\sqrt
2}}
(r\sqrt{1-r^2}-r^2)dr\\
&=\displaystyle\frac{2-\sqrt 2}{3}\pi abc.\end{array}\]

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  发表于 2016-3-26 19:31

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发表于 2016-3-26 21:30:12 | 显示全部楼层
第二题可以简化如下。

\[\begin{array}{rl}\displaystyle\int_0^1\ln (1+\sqrt{x})dx&=\displaystyle\int_0^1\ln (1+\sqrt{x})d(x-1)\\
&=\displaystyle(x-1)\ln
(1+\sqrt{x})\big|_0^1-\frac{1}{2}\int_0^1(1-\frac{1}{\sqrt{x}})dx\\
&=\displaystyle\left(\sqrt{x}-\frac{x}{2}\right)\big|_0^1\\
&=\displaystyle\frac{1}{2}.\end{array}\]
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发表于 2016-3-28 23:44:53 来自手机 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2016-3-26 21:30
第二题可以简化如下。

\[\begin{array}{rl}\displaystyle\int_0^1\ln (1+\sqrt{x})dx&=\displaystyle\int_ ...

不会用latex,我会学的
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发表于 2016-3-29 13:39:59 | 显示全部楼层
谢谢分享
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发表于 2016-4-6 15:19:26 | 显示全部楼层

谢谢分享
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