博士数学论坛

发表于 2016-1-2 05:42:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 Hansschwarzkopf 于 2016-1-2 06:10 编辑

积分$\int_0^{2\pi}\ln (a^2-2a\cos x+1)dx$的解法有多种,希望能见到奇思妙想。
发表于 2016-1-2 11:36:44 | 显示全部楼层
先用分部积分将原积分化成三角函数的有理式,然后用留数的方法就可以轻松计算出来。
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发表于 2016-1-2 12:42:03 | 显示全部楼层
在$[0, \pi]$上考虑就够了吧?这是泊松积分,在菲赫金哥尔茨老师的《微积分学教程》第二卷,97页、111页、389页、562页上面都有讨论。
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 楼主| 发表于 2016-1-2 13:10:43 | 显示全部楼层
无心 发表于 2016-1-2 12:42
在[0, \pi]上考虑就够了吧?这是泊松积分,在菲赫金哥尔茨老师的《微积分学教程》第二卷,97页、111页、3 ...

这些我不需要。

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呃,明白了。  发表于 2016-1-2 19:05
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  发表于 2016-1-2 13:46
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发表于 2016-1-2 13:48:18 | 显示全部楼层
无心 发表于 2016-1-2 12:42
在[0, \pi]上考虑就够了吧?这是泊松积分,在菲赫金哥尔茨老师的《微积分学教程》第二卷,97页、111页、3 ...

关键是你自己的想法,而不是菲哥的。

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是的,版主说得对。  发表于 2016-1-2 19:05
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发表于 2016-1-2 15:47:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 Hansschwarzkopf 于 2016-1-2 17:02 编辑

计算结果=$2\pi\ln a$.
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发表于 2016-1-2 15:52:37 | 显示全部楼层
本帖最后由 Hansschwarzkopf 于 2016-1-2 17:03 编辑

$a=0$时,计算结果=$0$;
$a$不为0时, 计算结果=$2\pi\ln a$.
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发表于 2016-1-2 17:00:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 Hansschwarzkopf 于 2016-1-2 17:10 编辑

计算过程如下。

设原积分是$a$的函数f(a), 显然$f(0)=0$,但是$f(a)$在$a=0$处不连续,所以$f(0)$不能用。

所以要求$f(1)$的值,可以证明$f(1)=0$.

对$f(a)$求导,得到$f'(a)$, 用留数的方法可以得到$f'(a)=2\pi/a$,积分得到$f(a)=2\pi\ln a+c$,$ c$为积分常数,利用$f(1)=0$可以得到 $f(a)=2\pi\ln a$.
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 楼主| 发表于 2016-1-2 17:10:09 | 显示全部楼层
utgarylee 发表于 2016-1-2 17:00
计算过程如下。

设原积分是a的函数f(a), 显然f(0)=0,但是f(a)在a=0处不连续,所以f(0)不能用。

下次请用$\mathrm{\LaTeX}$发帖。 否则就只有删帖了。我对你以上三个帖子做了编辑,内容没有任何改变,只是把数学式子做了$\mathrm{\LaTeX}$转换。所以不对你的内容错误负责。再强调一句:请用$\mathrm{\LaTeX}$发帖。否则删帖无商量。
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发表于 2016-1-2 17:52:02 | 显示全部楼层
华东师大03年有个考题

设$0<r<1,x\in R$, 求证:

(1)$$\frac{1-r^2}{1-2r\cos x+r^2}=1+2\sum_{n=1}^{\infty}r^n\cos nx;$$

(2)$$\int_0^{\pi}\ln(1-2r\cos x+r^2)d x=0.$$
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