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[考研真题] 北京大学2016高等代数与解析几何

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发表于 2015-12-27 22:17:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 TangSong 于 2015-12-29 00:25 编辑

1.$(10')$在$R^3$上定义线性变换$A,A$在自然基

\[\varepsilon_1=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0\end{array}\right),\varepsilon_2=\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right),\varepsilon_3=\left(\begin{array}{c}
0\\
0\\
1\end{array}\right)\]下的矩阵为
\[\left(\begin{array}{ccc}
0&1&-1\\
0&0&1\\
0&0&0\end{array}\right)\]
求$R^3$的一组基,使得$A$在这组基下具有Jordan型

2.$(10')$3阶实矩阵$A$的特征多项式为$x^3-3x^2+4x-2$

证明$A$不是对称阵也不是正交阵

3.$(15')$在所有2阶实方阵上定义二次型$f$:$X\rightarrow Tr(X^2)$

求$f$的秩和符号差

4.$(15')$设$V$是有限维线性空间,$A,B$是$V$上线性变换满足下面条件

(1)$AB=O$.这里$O$是0变换

(2)$A$的任意不变子空间也是$B$的不变子空间

(3)$A^5+A^4+A^3+A^2+A=O$

证明$BA=O$

5.$(15')$设$V$是全体次数不超过$n$的实系数多项式组成的线性空间

定义线性变换$A$:$f(x)\rightarrow f(1-x)$

求$A$的特征值和对应的特征子空间

6.$(15')$计算行列式.各行底数为等差数列,各列底数也为等差数列,所有指数都是$50$
\[\left|\begin{array}{ccccc}
1^{50}&2^{50}&3^{50}&\cdots &100^{50}\\
2^{50}&3^{50}&4^{50}&\cdots &101^{50}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
100^{50}&101^{50}&102^{50}&\cdots& 199^{50}\\\end{array}\right|\]

7.$(20')$设$V$是复数域上有限维线性空间$A$是$V$上线性变换,$A$在一组基下矩阵为$F$

(1)若$A$可对角化对任意$A$的不变子空间$U$,存在$U$的一个补空间$W$是$A$的不变子空间

(2)若对任意$A$的不变子空间$U$,存在$U$的一个补空间$W$是$A$的不变子空间,证明$F$可对角化

8.$(20')$平面上一个可逆仿射变换将一个圆映为椭圆或圆.详细论证这一点

9.$(15')$平面$Ax+By+Cz+D=0$与双曲抛物面$2z=x^2-y^2$交于两条直线

证明$A^2-B^2-2CD=0$

10.$(15')$正十二面体有12个面,每个面为正五边形,每个顶点连接3条棱.求它的内切球与外接球半径比.

(注:本题没有图!)

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第3题为啥是二次型啊? 看不懂.  发表于 2015-12-28 11:08

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 楼主| 发表于 2015-12-27 22:42:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 TangSong 于 2015-12-28 00:21 编辑

1.
\[\alpha_1=\left(\begin{array}{c}
1\\
0\\
0\end{array}\right),
\alpha_2=\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
0\end{array}\right),
\alpha_3=\left(\begin{array}{c}
0\\
1\\
1\end{array}\right)\]
2.实对称阵特征值均为实数,正交阵特征值模长为1

3.$r=4$,符号差为$2$

4.条件(3)保证$A$可对角化,再由条件(2)$A,B$可交换

5.$f(1-x)=\lambda f(x)$比较首项系数得$\lambda=\pm 1$

进一步得到
\[V_1= \mathrm{span}\left(1,(x-\frac{1}{2})^2,(x-\frac{1}{2})^4,\cdots\right)\]
\[V_{-1}= \mathrm{span}\left((x-\frac{1}{2}),(x-\frac{1}{2})^3,\cdots\right)\]

讨论一下$n$的奇偶性得到最后一项

6.不会

7.可以参考蓝以中的高等代数简明教程

(1)\[V=V_{\lambda_1}\bigoplus V_{\lambda_2}\bigoplus\cdots V_{\lambda_s}\]则成立下面的

\[U=(V_{\lambda_1}\bigcap U)\bigoplus (V_{\lambda_2}\bigcap U)\bigoplus\cdots (V_{\lambda_s}\bigcap U)\]

取每个特征子空间上的补空间(由于$A$限制在特征子空间上是数乘变换,这个补空间也是$A$的不变子空间,)再把这些补空间拼起来

(2)利用复数域上线性变换必有特征值和归纳法

8.列出表达式,坐标变换

9.双曲抛物面是直纹面,同族直母线异面,异族直母线相交

任取一条$u$族直母线或者$v$族直母线利用这条直母线在平面上可得结果

10.不会(捂脸.)
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发表于 2015-12-28 00:25:06 | 显示全部楼层
看样子高代比数分难。
从网上搜正十二面体看,第10题答案也不太整齐。
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发表于 2015-12-28 03:02:18 | 显示全部楼层
第6题应该是$0$.
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发表于 2015-12-28 08:42:07 | 显示全部楼层
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发表于 2015-12-28 10:03:42 | 显示全部楼层
第六题是一道多项式的题。把最后一列活化,取1,2,,,99.都为零。所以取100也是。

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嗯.是我考试的时候2了其实这题很简单  发表于 2015-12-28 11:53
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发表于 2015-12-28 10:48:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 songlei1994 于 2015-12-28 12:30 编辑

。。。。
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发表于 2015-12-28 12:01:24 | 显示全部楼层
第3题为啥是二次型啊? 看不懂.  

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应该是4个数排成一个2阶方阵.我记得就是这样.感觉这题有点怪  发表于 2015-12-28 12:23
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发表于 2015-12-28 12:42:24 | 显示全部楼层
xinglongdada 发表于 2015-12-28 12:01
第3题为啥是二次型啊? 看不懂.

在丘维声的高等代数学习指导书上册里说二次型是定义在数域上的n元函数。题目中的更像是下册中的二次函数。不过在同一组基下二次函数可以导出一个双线性函数和一个二次型,它们度量矩阵相同。利用类似极化恒等式转化成双线性函数然后取标准基可以把矩阵算出来。
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发表于 2015-12-28 12:56:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 morrismodel 于 2015-12-28 13:20 编辑

或者用如下恒等式:
$$\sum_{j=0}^k(-1)^{k-j}C_k^j(x+j)^k=k\,!.$$

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