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[考研真题] 北京大学2016数学分析

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发表于 2015-12-27 18:59:57 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 TangSong 于 2015-12-27 20:55 编辑

1.$(15')$用开覆盖定理证明闭区间上连续函数必一致连续

2.$(15')$$f(x)$是$[a,b]$上的实函数.叙述关于Riemann和
\[\sum_{k=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})\]

的Cauchy准则(不用证明)并用你叙述的Cauchy准则证明闭区间上的单调函数可积

3.$(15')$$(a,b)$上的连续函数$f(x)$有反函数.证明反函数连续

4.$(15')$$f(x_1,x_2,x_3)$是$C^2$映射,
\[\frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1^0,x_2^0,x_3^0)\not =0\]
证明关于$f$的隐函数定理$x_1=x_1(x_2,x_3)$

证明$x_1=x_1(x_2,x_3)$二次可微并求出
\[\frac{\partial^2 x_1}{\partial x_2\partial x_3}\]的表达式

5.$(15')$$n\ge m, f:U\subseteq R^n\rightarrow R^m$是$C^1$映射,$U$为开集且$f$的Jacobi矩阵秩处处为$m$

证明$f$将$U$中的开集映为开集

6.$(15')$\[x_1=\sqrt{2},x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}\]证明$x_n$收敛并求极限值

7.$(15')$证明
\[\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx\]收敛并求值.写出计算过程

8.$(15')$(A)证明存在$[a,b]$上的多项式序列$p_n(x)$使得
\[\int_a^b p_i(x)p_j(x)dx=\delta_{i,j}\]
并使得对于$[a,b]$上的连续函数$f(x)$若
\[\int_a^b f(x)p_n(x)dx=0,\forall n\]必有$f\equiv 0$

(B)设$g(x)$在$[a,b]$平方可积,$g$关于A中$p_n$的展式系数为

\[g(x)\sim\int_a^b g(x)p_n(x)dx\]

\[\int_a^b g^2(x)dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\left[\int_a^b g(x)p_n(x)dx\right]^2\]是否成立

9.$(15')$\[\mbox{正项级数}\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\mbox{收敛},\lim_{n\to +\infty}b_n=0\]

\[c_n=a_1b_n+a_2b_{n-1}+\dots +a_nb_1,\mbox{证明}c_n\mbox{收敛并求}\lim_{n\to +\infty}c_n\]

10.$(15')$幂级数\[\sum_{n=1}^{+\infty} a_nx^n\]
收敛半径为$R,0<R<+\infty$,证明\[\sum_{n=1}^{+\infty} a_nR^n\mbox{收敛的充要条件为}\sum_{n=1}^{+\infty} a_nx^n\mbox{在}[0,R)\mbox{一致收敛}\]

水题就很水,除了水题就是课本上超麻烦定理的证明。3元隐函数定理,反函数的连续性,Parseval等式

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本帖被以下淘专辑推荐:

发表于 2015-12-27 22:31:42 | 显示全部楼层
真没什么难题。跟前几年相比,又退步了。惜哉!
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发表于 2015-12-28 03:38:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 Hansschwarzkopf 于 2015-12-28 05:25 编辑

第9题解答:


\[S=\sum_{n=1}^\infty a_n,M=\sup\{|b_n|:n\geqslant 1\}.\]
根据$\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$, 对任意$\varepsilon>0$, 存在正整数$N$, 使得对任意$n>N$, $|b_n|<\varepsilon$. 从而对任意$n>N$,
\[\begin{array}{rl}|c_n|&=\left|\sum\limits_{k=1}^n a_{n-k+1}b_k\right|\\
&\leqslant
\sum\limits_{k=1}^Na_{n-k+1}|b_k|+\sum\limits_{k=N+1}^na_{n-k+1}|b_k|\\
&\leqslant M\sum\limits_{k=1}^Na_{n-k+1}+\varepsilon
S\\
&=M\sum\limits_{k=n-N+1}^na_k+\varepsilon S.\end{array}\] 注意到正项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$收敛, 必有$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=n-N+1}^na_k=0$. 从而 $\varlimsup\limits_{n\to\infty}|c_n|\leqslant\varepsilon S$. 根据$\varepsilon>0$的任意性, 得到$\lim\limits_{n\to\infty}c_n=0$.

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发表于 2015-12-28 10:08:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 songlei1994 于 2015-12-28 12:53 编辑

平方可积的那道题出错了。如果在黎曼积分下,平方可积并不保证可积,之后的计算是无法进行的。但是如果是勒贝格框架下是对的,这样这道题就像是泛函分析了。我认为数分下用的应该是黎曼积分吧。另:第一题应该是有限闭区间。

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很棒  发表于 2016-7-16 22:56
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发表于 2015-12-29 17:36:11 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2015-12-27 22:31
真没什么难题。跟前几年相比,又退步了。惜哉!

考虑到只有三个小时时间,已经很不容易了

做这张卷子要很熟练,基本没有什么自己想的时间

你不能用自己的水平衡量试卷的水平
你要觉得难,就基本没什么人能及格了

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  发表于 2016-1-4 07:40
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发表于 2015-12-29 20:41:32 | 显示全部楼层
我觉得这份题很不错,几个是教材中定理的证明,这有点像1950时代王元在浙大数学系的期末考试试题
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 楼主| 发表于 2015-12-29 22:33:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 TangSong 于 2015-12-29 23:07 编辑
hayrhen 发表于 2015-12-29 17:36
考虑到只有三个小时时间,已经很不容易了

做这张卷子要很熟练,基本没有什么自己想的时间


自命题科目答题纸15页都被我写满了.尤其是隐函数定理那题.要先叙述隐函数定理,证明它存在,再证明它连续,再证明它可微并导出那个表达式写了3页吧.字比较大.

还有Parseval等式那题写起来真是长.也不知道自己写的怎么样.
题目比往届都偏于课本重要定理证明.虽然技巧性不强但是高分也未必容易
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发表于 2015-12-30 18:29:13 | 显示全部楼层
谁能给个PDF版的供下载用 谢谢了
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发表于 2016-3-16 11:30:11 | 显示全部楼层
Hansschwarzkopf 发表于 2015-12-28 03:38
第9题解答:


阁下真棒,信任报到能问下你是哪个学校的么
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发表于 2016-3-25 20:41:27 | 显示全部楼层
第一题不会啊
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