博士数学论坛

发表于 2015-11-25 14:44:35 | 显示全部楼层
凌空一羽 发表于 2015-11-25 14:08
您给的解法的问题在于把洛必达的条件中的极限和结论中的极限弄反了。

第五题确实做错了,洛必达法则搞反了
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发表于 2015-11-25 14:49:35 来自手机 | 显示全部楼层
分析最后一问的证明对吗?
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发表于 2015-11-25 15:40:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 老骥伏枥 于 2015-11-25 15:42 编辑

最后一个应该证明$g$的像集既是开集也是闭集
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发表于 2015-11-25 15:51:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 老骥伏枥 于 2015-11-25 21:39 编辑

见后面18楼
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发表于 2015-11-25 16:33:50 | 显示全部楼层
老骥伏枥 发表于 2015-11-25 15:51
为了说明g为满射,只需说明g(\mathbb R^n)既是开集也是闭集.
开集是显然的,因为g连续,必为开映射.
再 ...

连续并不一定是开映射的,可以利用范数的三角不等式证明Jg的范数恒为正,然后仿照你给的链接里用逆映射定理来说明g是开映射
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发表于 2015-11-25 16:48:45 | 显示全部楼层
本帖最后由 老骥伏枥 于 2015-11-25 16:51 编辑
凌空一羽 发表于 2015-11-25 16:33
连续并不一定是开映射的,可以利用范数的三角不等式证明Jg的范数恒为正,然后仿照你给的链接里用逆映射定 ...


这里开映射都不需要,只需$g(\mathbb R^n)$是开集即可
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发表于 2015-11-25 16:54:45 | 显示全部楼层
老骥伏枥 发表于 2015-11-25 16:48
这里开映射都不需要,只需g(\mathbb R^n)是开集即可

在这一题中,g确实是开映射,只不过需要利用其它条件进行一定的证明。仅由连续非常值是无法保证一个映射是开映射的,不知道你学过点集拓扑没有,很多点集拓扑的书里都有反例。

点评

已经在18楼写了完整解答,请在看看,谢谢  发表于 2015-11-25 17:20
谢谢,我知道了,修改一下  发表于 2015-11-25 16:58
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发表于 2015-11-25 17:12:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 老骥伏枥 于 2015-11-25 17:19 编辑

最后一题完整解答:
为了说明$g$为满射,只需说明$g(\mathbb R^n)$既是开集也是闭集.
先证是开集,任取$y_0=g(x_0)\in g(\mathbb R^n)$,因为$$
Jg=E+Jf
$$
因为$\|Jf\|\leq\frac{1}{2}$.可证$Jg$可逆.(看最后)因此利用逆映射定理得$f(\mathbb R^n)$是开集.
再证$g(\mathbb R^n)$是闭集,任取收敛列$\{g(x_{n})\}\subset\mathbb R^n$,则$$
\left\|g(x_{n})-g(x_{m})\right\|\geq\left\|x_n-x_m\right\|-\left\|f(x_{n})-f(x_m)\right\|
$$
因为拟微分中值定理得$$
\left\|f(x_{n})-f(x_m)\right\|\leq\frac{1}{2}\left\|x_n-x_m\right\|
$$
所以$$
\left\|g(x_{n})-g(x_{m})\right\|\geq\frac{1}{2}\left\|x_n-x_m\right\|
$$
所以$\{x_n\}$是$\mathbb R^n$中的收敛列,设极限为$x_{0}$,由$g$的连续性$$
\lim_{n\to\infty}g(x_{n})=g(x_{0})\in g(\mathbb R^n)
$$
所以像集$g(\mathbb R^n)$也是闭集。
所以$g(\mathbb R^n)=\mathbb R^n$,即$g$是满射

用到了一个结论,若$\|A\|<1$,则$E+A$可逆。否则存在非零$x\in\mathbb R^n$使得$(E+A)x=0$,得$$
Ax=-x
$$
所以$\|x\|=\|Ax\|\leq\|A\|\cdot\|x\|$所以$\|A\|\geq1$矛盾

过程完全模仿http://www.math.org.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=29069
中第七题

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发表于 2015-11-25 17:29:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 赵江彦 于 2015-11-25 17:30 编辑
老骥伏枥 发表于 2015-11-25 15:51
为了说明g为满射,只需说明g(\mathbb R^n)既是开集也是闭集.
先证是开集,任取y_0=g(x_0)\in g(\mathbb  ...


在龙姑娘的这个解答中 $f$ 可逆吗,前辈? 如果可逆的话, 这道题目不就显然成立了吗?

ps:由于龙姑娘不怎么来论坛了,所以拿到这里讨论,望见谅.

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发表于 2015-11-25 17:32:20 | 显示全部楼层
老骥伏枥 发表于 2015-11-25 17:12
最后一题完整解答:
为了说明g为满射,只需说明g(\mathbb R^n)既是开集也是闭集.
先证是开集,任取y_0=g ...

恩,你这样应该没问题,我之前说的用三角不等式是错误的,当时没考虑明白,把范数和行列式弄混淆了。
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