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发表于 2015-10-24 20:05:43 |显示全部楼层
本帖最后由 morrismodel 于 2015-10-24 20:13 编辑
594225264 发表于 2015-10-24 19:00
第5题的极限函数怎么求


解积分方程
\[
g(x)=f(x)+\int_0^xh(t)g(t)dt.
\]
解得极限函数为
$$g(x)=f(x)+\int_0^xf(y)h(y)\exp\left\{\int_y^xh(t)dt\right\}dy.$$
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发表于 2015-10-24 20:28:06 |显示全部楼层
第四题$\lim n(a_n-n)=0$
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发表于 2015-10-24 20:33:56 |显示全部楼层
若 $a_1=1$,则~$a_n=n$;
若 $a_1\neq 1$,则~$a_2>2$;
易由归纳法知~$a_n>n,n\geq 2$;
令$b_n=a_n-n$,可证~$\lim b_n=0$,
再用Stolz 可得~$\lim n(a_n-n)=0$.
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发表于 2015-10-24 21:36:49 |显示全部楼层
pengxgnormal 发表于 2015-10-24 20:33
若 a_1=1,则~a_n=n;
若 a_1\neq 1,则~a_2>2;
易由归纳法知~a_n>n,n\geq 2;

$b_n\rightarrow 0$是对的, 但$nb_n\rightarrow 0$是没有根据的. 理由如下:
$$n(a_{n+1}-(n+1))=\frac{n}{n-1}\left(1-\frac{1}{a_n}\right)(n-1)(a_n-n)\geq (n-1)(a_n-n).$$
所以
$$n(a_n-n)\geq(n-1)(a_n-n)\geq (a_2-2).$$
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发表于 2015-10-24 21:56:10 |显示全部楼层
morrismodel 发表于 2015-10-24 20:05
解积分方程
\[
g(x)=f(x)+\int_0^xh(t)g(t)dt.

今天算到这一步,积分方程不会解,就想假设f和g都可导,变成解一个微分方程的,结果常微分方程都忘了,唉,惭愧
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发表于 2015-10-24 22:13:05 |显示全部楼层
594225264 发表于 2015-10-24 21:56
今天算到这一步,积分方程不会解,就想假设f和g都可导,变成解一个微分方程的,结果常微分方程都忘了,唉 ...

你就先当他们可导, 求出解, 然后分部积分把导数换掉.
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发表于 2015-10-25 10:38:21 |显示全部楼层
已经在一楼更新数学组官方解答
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发表于 2016-9-18 10:39:08 |显示全部楼层
支持。又快到新一年的竞赛了。
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