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[考研真题] 2015南京师范大学高等代数真题

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发表于 2015-1-7 20:46:23 |显示全部楼层
本帖最后由 MathTT 于 2015-1-7 20:58 编辑

第一题:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + 3{x_3} = 0\\
{x_1} - 2{x_2} + {x_3} = 0\\
{x_1} + 3{x_2} + a{x_3} = 0
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + b{x_2} + (c - 1){x_3} = 0\\
{x_1} + {b^2}{x_2} + c{x_3} = 0
\end{array} \right.\]
上述两个方程组同解,求$a,b,c$

第二题:
\[D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a_{11}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\
\vdots &{}& \vdots \\
{{a_{n1}}}& \cdots &{{a_{nn}}}
\end{array}} \right|,{A_{ij}}\]
为代数余子式,求证:
\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{A_{11}}}& \cdots &{{A_{1,n - 1}}}\\
\vdots &{}& \vdots \\
{{A_{n - 1,1}}}& \cdots &{{A_{n - 1,n - 1}}}
\end{array}} \right| = {a_{nn}}{D^{n - 2}}\]

第三题:
\[f(x) = {x^3} + 2{x^2} - 1,g(x) = {x^2} + x + 1,\]
且$\alpha ,\beta ,\gamma $是$f(x)$的三根。
求一整系数多项式$H(x)$,以$g(\alpha ),g(\beta ),g(\gamma )$为根。

第四题:
$A$为复数域上的$n$阶反对称矩阵,$\lambda $为$A$的特征值
$\alpha {\rm{ + i}}\beta $为$\lambda $的特征向量,且$\alpha ,\beta $为实向量,$\alpha {\rm{ + i}}\beta $为虚向量
求证:$1.\lambda $必为纯虚数
          $2.\alpha ,\beta $的长度相等

第五题:
$1.$令$A$为$6$阶方阵,\[f(x) = (x - 1){({x^2} - 2x + 2)^2}\]为$A$的最小多项式
$Tr(A)=6$,求$A$的若尔当矩阵。
$2.$ $A,B$为半正定矩阵,且$Tr(AB)=0$,求证对任意正整数$m$
有$$(A+B)^{m}=A^{m}+B^{m}$$

第六题:
  $\sigma ,\tau $为线性空间$V$的线性变换,且 $\sigma  + \tau  = E$为恒等变换,且$\sigma \tau  = 0$
证明:$\sigma (V) \oplus \tau (0) = V$

第七题:
线性空间为$P^{n\times n}$,$\forall A \in {P^{n \times n}}$,
线性变换$\sigma $满足$$\sigma (A)=A^{T}$$,
求出$\sigma $的所有特征值,并求出所有特征值对应的特征向量

第八题:
$A$为复数域上的矩阵,$A$满足\[{A^{ - 1}} \ne 0,{A^n} = 0\],
$\lambda $为其任意特征值
$1.$证明${V_\lambda }$是一维子空间
$2.$是否存在$B$,使$B^{2}=A$,若存在请给出证明,若不存在请说明理由。

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数函  pdf版本试题请在3楼下载  发表于 2015-1-7 22:23
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发表于 2015-1-7 20:54:23 |显示全部楼层
不会排版凑服看吧,有功夫把数学分析也传上来。
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发表于 2015-1-7 22:20:13 |显示全部楼层
编译了下

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MathTT  谢谢数涵大哥!  发表于 2015-1-7 23:06
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发表于 2015-1-8 00:12:25 |显示全部楼层
排班很不错,谢谢分享,下来练练
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发表于 2015-1-8 00:14:36 |显示全部楼层
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发表于 2015-5-28 01:00:31 |显示全部楼层
ljjmaths 发表于 2015-1-8 00:14
不是很难

可以把数学分析发给我么?谢谢了。2271566709@qq.com
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发表于 2015-5-28 01:01:02 |显示全部楼层
可以把数学分析发给我么?谢谢了。2271566709@qq.com
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发表于 2015-9-5 17:50:53 |显示全部楼层
为什么我下再不了
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