博士数学论坛

发表于 2017-2-6 14:57:29 | 显示全部楼层
公式无法显示。
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发表于 2017-2-7 22:51:37 | 显示全部楼层
先来学习一下 E=mc^{2}
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发表于 2017-2-7 22:53:49 | 显示全部楼层
\widetilde{ab}
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发表于 2017-2-15 01:57:19 | 显示全部楼层
$\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{x}^{2}}}=[\frac{\partial ({{z}_{u}})}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial ({{z}_{u}})}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}]+[\frac{\partial ({{z}_{v}})}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial ({{z}_{v}})}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}]={{z}_{uu}}+2{{z}_{uv}}+{{z}_{vv}}.$







\[\displaystyle\frac{{{\partial }^{2}}z}{\partial {{x}^{2}}}=\left[\frac{\partial ({{z}_{u}})}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial ({{z}_{u}})}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\right]+\left[\frac{\partial ({{z}_{v}})}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial ({{z}_{v}})}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial x}\right]={{z}_{uu}}+2{{z}_{uv}}+{{z}_{vv}}.\]
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发表于 2017-2-16 06:20:00 | 显示全部楼层
$$x=r\cos\theta $$
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发表于 2017-2-18 08:14:21 | 显示全部楼层
(1)证明:由积分第一中值定理可知,存在${{x}_{n}}\in [n-1,n]$,使得
$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{\left| u({{x}_{n}}) \right|}^{2}}=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\int_{n-1}^{n}{{{\left| u(x) \right|}^{2}}dx}=\int_{0}^{+\infty }{{{\left| u(x) \right|}^{2}}dx\le }}}\int_{0}^{+\infty }{({{\left| u(x) \right|}^{2}}+{{\left| u'(x) \right|}^{2}})dx<+\infty }$$
于是
$$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left| u{{({{x}_{n}})}^{2}} \right|=0\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left| u({{x}_{n}}) \right|=0$$
于是存在$ [0,+\infty ) $中的子列$\{{{x}_{n}}\}_{0}^{+\infty }$,使得当$n\to +\infty $时,${{x}_{n}}\to +\infty $且$u({{x}_{n}})\to 0$








\[\begin{array}{ccccc}&&M+N&&\\ &\swarrow&&\searrow&\\M&&&&N\\&\searrow&&\swarrow&\\&&M\cap N&&\end{array}\]



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发表于 2017-2-18 09:34:44 | 显示全部楼层
试一试
$\alpha^\beta=\gamma$
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发表于 2017-2-19 05:38:14 | 显示全部楼层
方程组的系数行列式为

$$
\left|\begin{array}{cccc}
1 & {\frac{1}{{2!}}} & {\frac{1}{{3!}}} & {\frac{1}{{4!}}} \\
1 & {\frac{2}{{2!}}} & {\frac{{{2^2}}}{{3!}}} & {\frac{{{2^3}}}{{4!}}} \\
1 & {\frac{3}{{2!}}} & {\frac{{{3^2}}}{{3!}}} & {\frac{{{3^3}}}{{4!}}} \\
1 & {\frac{4}{{2!}}} & {\frac{{{4^2}}}{{3!}}} & {\frac{{{4^3}}}{{4!}}}
\end{array}\right|
=\frac{1}{{1!2!3!4!}}\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & {{2^2}} & {{2^3}} \\
1 & 3 & {{3^2}} & {{3^3}} \\
1 & 4 & {{4^2}} & {{4^3}}
\end{array}\right|
$$


$$=\frac{1}{{1!2!3!4!}}(2 - 1)(3 - 1)(3 - 2)(4 - 1)(4 - 2)(4 - 3) = \frac{1}{{4!}} \ne 0$$





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发表于 2017-2-19 19:34:21 | 显示全部楼层
10. ($5'$) 计算反常积分 $$\int_0^\infty \frac{\ln x}{(1+x^{\ln x})x}dx. $$
解答: $$原积分 =\int_0^\infty \frac{\ln x}{1+x^{\ln x}}d (\ln x) =\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t}{1+e^{t^2}}dt =0.$$



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发表于 2017-2-20 00:19:07 | 显示全部楼层
注意到在${{C}_{\varepsilon }}$上$$\frac{\partial \ln r}{\partial \overrightarrow{n}}{{|}_{r=\varepsilon }}=\frac{\partial \ln r}{\partial r}{{|}_{r=\varepsilon }}=\frac{1}{r}{{|}_{r=\varepsilon }}=\frac{1}{\varepsilon }$$
于是$${{I}_{1}}=\oint_{{{C}_{\varepsilon }}}{f\frac{\partial \ln r}{\partial \overrightarrow{n}}}ds=\frac{1}{\varepsilon }\oint_{{{C}_{\varepsilon }}}{fds}=\frac{1}{\varepsilon }f(Q)\oint_{{{C}_{\varepsilon }}}{ds=2\pi }f(Q)$$(积分第一中值定理)

其中点$Q$是${{D}_{2}}$内任意一点.
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