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[数学分析] 浙大一题

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发表于 2013-6-21 15:25:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 james2009 于 2013-6-21 16:47 编辑

此题已经解决!

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发表于 2013-6-21 15:56:14 来自手机 | 显示全部楼层
这是典型的Baire定理的应用,也可以作为Osgood定理的推论。
 楼主| 发表于 2013-6-21 15:57:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 james2009 于 2013-6-21 15:59 编辑
mathjgs 发表于 2013-6-21 15:56
这是典型的Baire定理的应用,也可以作为Osgood定理的推论。


如何构造集合,使得为闭集的并?实变荒废了。
发表于 2013-6-21 16:11:23 | 显示全部楼层
mathjgs 发表于 2013-6-21 15:56
这是典型的Baire定理的应用,也可以作为Osgood定理的推论。

Osgood定理
你有空写写整个定理的叙述,因为我只是听说过 Osgood 在常微分方程的一个定理 :-)
发表于 2013-6-21 17:34:51 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2013-6-21 16:11
Osgood定理
你有空写写整个定理的叙述,因为我只是听说过 Osgood 在常微分方程的一个定理 :-) ...

设$X$为完备度量空间,$\{f_n(x)\}$为$X$上一列连续实值函数,如果对每个$x\in X,$存在$M_x>0,$使得$$|f_n(x)|\leq M_x,n=1,2,3,\cdots,$$则有$X$中的非空开集$G$使得$\{f_n(x)\}$在$G$上一致有界.
发表于 2013-6-21 17:46:39 | 显示全部楼层
mathjgs 发表于 2013-6-21 17:34
设$X$为完备度量空间,$\{f_n(x)\}$为$X$上一列连续实值函数,如果对每个$x\in X,$存在$M_x>0,$使得$$|f_n( ...

是的。原来这个叫Osgood定理。【http://item.taobao.com/item.htm? ... &id=18299638971】有证明,鼠标点上去就可以看清楚了。

刚开始做的时候想用这个,但没注意结论,以为是一致有界只是对 x 的。有对 n 的就好了。
发表于 2013-6-21 18:01:54 | 显示全部楼层
prczzj 发表于 2013-6-21 17:46
是的。原来这个叫Osgood定理。【http://item.taobao.com/item.htm?spm=a1z10.3.w4002-1621449336.27.7B7M ...

谢谢分享!在陈天权编写的《数学分析讲义》第二册(第一章节)好像也有这个定理.历史上好像先有Osgood定理,再有Baire纲性定理,但往往证明Osgood定理用Baire定理会十分容易.

不同的泛函分析教材证明"Banach逆算子定理","开映射闭图像定理","共鸣定理"的顺序是不一样的,共鸣定理只需第二纲即可保证,它是由Banach从Osgood定理中总结出来的.

再废话一句,Baire纲性定理真的很有用,用它可以得到很多有趣的结果,这在William Dunham的《微积分的历程》中有提及.
发表于 2013-6-21 18:04:12 | 显示全部楼层
翻开旧帖,好像我以前证明过这个题目.

http://www.math.org.cn/forum.php ... p;extra=&page=7
发表于 2013-6-30 17:04:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 herbertfederer 于 2013-6-30 17:10 编辑
mathjgs 发表于 2013-6-21 15:56
这是典型的Baire定理的应用,也可以作为Osgood定理的推论。


我现在这样想:
先证明 $f'$ 是可测的。
然后 $f'$ 就存在连续的点。
从而在连续点 $x_0$ 附近 $f'$ 是有界。  

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