博士数学论坛

查看: 4583|回复: 9

[高等代数] 求一个矩阵所有不变子空间个数

[复制链接]
发表于 2013-5-18 14:25:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 stwwwxxx 于 2013-5-20 19:29 编辑

钱吉林高代解题精粹第一版608题指出,具有n个不同实特征根的R上的n维线性空间V的线性变换A,其所有不变子空间个数为2的n
次方,这也较容易整明。
我猜想,若A的标准型为k个特征值互不相同的ni阶若尔当块,则所有A-子空间个数为(1+n1)。。。(1+nk),可是我不会证明。求助

我还有个相关的猜想:设V=U直和W,U,W为A-子空间,那么对任意V的A-子空间V',存在U,W的A-子空间U',W',使得V'=U'直和W'

大家注意 我的条件已经限制了没有特征子空间维数大于等于2
发表于 2013-5-18 17:03:15 来自手机 | 显示全部楼层
第一个我觉得是对的!对于代数封闭域上的V可以分解为A的根子空间的直和,则A的不变子空间由其各个根子空间中的不变子空间的直和构成,所以只需计算属于某个重数为$n_i$的特征值$t_i$的根子空间的不变子空间有$n_i+1$个即可。
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2013-5-19 21:37:05 | 显示全部楼层
zzyxunilc 发表于 2013-5-18 17:03
第一个我觉得是对的!对于代数封闭域上的V可以分解为A的根子空间的直和,则A的不变子空间由其各个根子空间 ...

严格证明呢
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2013-5-20 10:03:57 | 显示全部楼层
你这个问题的提法本身就有问题!
如果某个特征子空间的维数大于等于2,那么它的所有子空间都是不变子空间,而它的子空间有无穷多个!
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2013-5-20 10:20:01 来自手机 | 显示全部楼层
mxcandy 发表于 2013-5-20 10:03
你这个问题的提法本身就有问题!
如果某个特征子空间的维数大于等于2,那么它的所有子空间都是不变子空间, ...

反驳的很犀利!
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2013-5-20 12:09:31 | 显示全部楼层
kucotrey 发表于 2013-5-20 10:20
反驳的很犀利!

薄熙来先生的头像很有个性呀!
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2013-5-20 13:45:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 zzyxunilc 于 2013-5-21 12:59 编辑
mxcandy 发表于 2013-5-20 10:03
你这个问题的提法本身就有问题!
如果某个特征子空间的维数大于等于2,那么它的所有子空间都是不变子空间, ...


$n$维线性空间$V$,$\sigma $是$V$上的线性变换,$U$是$\sigma $的不变子空间.设$\sigma $的特征多项式为$ch_{\sigma}\left(t\right)=\prod_{i=1}^{s}\left(t-t_i\right)^{n_i}$,其中$t_i\left(1\leq i\leq s\right)$是$\sigma $的全部互异特征值,$\sum_{i=1}^{s}n_i=n$.则$\sigma |_U$的特征多项式$ch_{\sigma |_U}\left(t\right)|ch_{\sigma}\left(t\right)$,即$ch_{\sigma |_U}\left(t\right)=\prod_{i=1}^{s}\left(t-t_i\right)^{m_i}$,$0\leq m_i\leq ni$,因此$U$可以分解为$\sigma |_U$的根子空间的直和: $U=ker\left(\sigma |_U - t_1 id_U\right)^{m_1}\oplus \cdots \oplus ker\left(\sigma |_U - t_s id_U\right)^{m_s}$.
那么在此直和分解的意义下能否说$\sigma $的不变子空间的数目是有限的呢?
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2013-5-20 19:27:36 | 显示全部楼层
mxcandy 发表于 2013-5-20 10:03
你这个问题的提法本身就有问题!
如果某个特征子空间的维数大于等于2,那么它的所有子空间都是不变子空间, ...

说的不错 可我的条件已经限制了没有特征子空间维数大于等于2
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2013-5-21 01:26:39 | 显示全部楼层
stwwwxxx 发表于 2013-5-20 19:27
说的不错 可我的条件已经限制了没有特征子空间维数大于等于2

不变子空间的个数问题.png
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2013-5-21 13:07:34 | 显示全部楼层
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

快速回复 返回顶部 返回列表