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[高等代数] 求线性空间的一组基

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发表于 2013-4-13 09:44:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
发表于 2013-4-13 15:43:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathjgs 于 2013-4-13 16:02 编辑

    容易验证$V_{\mathbb R}$是实数域$\mathbb R$上的线性空间,并且它是有限维的.究其原因,由于$V$是复数域$\mathbb C$上的线性空间,故存在一组基,设为$\alpha_1,\ldots,\alpha_n,$则对任意$\alpha\in V,$存在$z_1,\ldots,z_n\in\mathbb C,$使得$$\alpha=\sum_{k=1}^nz_k\alpha_k.$$让$\beta_k=i\alpha_k,k=1,\ldots,n,$这里$i$表示虚数单位,则每个$\beta_k\in V,$现在让$$x_k=\mathrm{Re}z_k,y_k=\mathrm{Im}z_k,k=1,\ldots,n,$$则有$$\alpha=\sum_{k=1}^nz_k\alpha_k=\sum_{k=1}^nx_k\alpha_k+\sum_{k=1}^ny_k\beta_k,$$故$V_{\mathbb R}$中每个向量皆可由$\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\beta_1,\ldots,\beta_n$线性表出,所以$\dim V_{\mathbb R}\leq2n.$

    下面证明$\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\beta_1,\ldots,\beta_n$在$V_{\mathbb R}$中线性无关,如此$\dim V_{\mathbb R}=2n$并且$\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\beta_1,\ldots,\beta_n$是$V_{\mathbb R}$的一组基.

设有$x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n\in\mathbb R$使得$$\sum_{k=1}^nx_k\alpha_k+\sum_{k=1}^ny_k\beta_k=0,$$这等价于$$\sum_{k=1}^nx_k\alpha_k+\sum_{k=1}^niy_k\alpha_k=0,$$亦即$$\sum_{k=1}^n(x_k+y_ki)\alpha_k=0,$$由于$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$在$V$中线性无关,故对每个$1\leq k\leq n,k\in\mathbb Z_+$都有$$x_k+y_ki=0,$$所以$$x_1=\ldots=x_n=y_1=\ldots=y_n=0,$$此即表明$\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\beta_1,\ldots,\beta_n$在$V_{\mathbb R}$中线性无关.

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 楼主| 发表于 2013-4-13 16:13:25 | 显示全部楼层
mathjgs 发表于 2013-4-13 15:43
容易验证$V_{\mathbb R}$是实数域$\mathbb R$上的线性空间,并且它是有限维的.究其原因,由于$V$是复数域 ...

M老师,您太强悍了,谢谢您的热心指教!看来一个非空集合看成不同数域上的线性空间,它的维数可能不同。
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