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[高等代数] 给出两个线性空间的所有同构映射

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发表于 2013-4-13 09:41:46 |显示全部楼层
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发表于 2013-4-13 14:13:45 |显示全部楼层
本帖最后由 雁羽 于 2013-4-13 14:21 编辑

任意一个同构$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$都可以写成$$x\mapsto f[(1)]^x,\quad\forall x\in \mathbb{R}$$的形式.
……
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发表于 2013-4-13 15:02:28 |显示全部楼层
雁羽 发表于 2013-4-13 14:13
任意一个同构$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$都可以写成$$x\mapsto f[(1)]^x,\quad\forall x\in \mathbb{R} ...

能否说一下原因,谢谢了!
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发表于 2013-4-14 19:26:20 |显示全部楼层
本帖最后由 mathjgs 于 2013-4-14 19:29 编辑

    双射$\sigma:\mathbb R\to\mathbb R_+$满足:$$\forall x,y,\lambda\in\mathbb R,\left(\sigma(x+y)=\sigma(x)\sigma(y),\sigma(\lambda x)=\lambda\circ\sigma(x)=\left[\sigma(x)\right]^\lambda.\right)$$

    下面就是数学分析的知识了,自己写写.
Beauty is the first test: there is no pe
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发表于 2013-4-14 20:53:40 |显示全部楼层
mathjgs 发表于 2013-4-14 19:26
双射$\sigma:\mathbb R\to\mathbb R_+$满足$\forall x,y,\lambda\in\mathbb R,\left(\sigma(x+y)=\si ...

M老师,您说的是不是利用这个结论,可是它需要连续的条件,这里的同构映射如何说明是连续的呢?
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发表于 2013-4-15 00:06:53 来自手机 |显示全部楼层
不要死抠以前的结论不放,注意我上面说的是对任意实数$\lambda,x,y,$这个条件是很强的.
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发表于 2013-4-15 07:58:24 |显示全部楼层
mathjgs 发表于 2013-4-15 00:06
不要死抠以前的结论不放,注意我上面说的是对任意实数$\lambda,x,y,$这个条件是很强的. ...

M老师,还是不太懂啊,能再讲解一下吗?谢谢了!
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发表于 2013-4-15 10:03:54 |显示全部楼层
chuangni 发表于 2013-4-15 07:58
M老师,还是不太懂啊,能再讲解一下吗?谢谢了!

$\forall \lambda\in\mathbb{R}$,
$$f(\lambda)=f(\lambda\cdot1)=[f(1)]^\lambda.$$
……
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