博士数学论坛

发表于 2013-3-7 18:09:14 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 herbertfederer 于 2013-3-7 18:54 编辑

Giaquinta,Modica,Mathematical Analysis,4
第 134 页
Rn-Integral.png

其中 2.122 题 $\mathcal{H}^{n-1}$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的 $n-1$ 维曲面积分。(这里用 $n-1$ 维 Hausdorff 测度表示而已 )

我想第 2.122 大概可以推广一下。比如随便换成一个函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$
例如我想是否可以考虑稍微一般的条件:
$$\sum_{i=1}^{n}x_i^{\alpha}=1$$
其中 $\alpha$ 取适当的值。(本题是 $\alpha=1$)
如果 $\alpha=2$,那就应该是单位球面了。

另外,2.121 那一题似乎应该是
$$\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{1}{(1+|x|^2)^n}\,dx$$
 楼主| 发表于 2013-3-8 14:54:10 | 显示全部楼层
本帖最后由 herbertfederer 于 2013-3-8 22:10 编辑

2.122 做出来了,但一般的情形还没有做出来。

令 $u(x_{1},\cdots,x_{n-1})=x_{n}=1-x_{1}-\cdots -x_{n-1}$
原来的式子化为 $u(x_{1},\cdots,x_{n-1})$ 在区域
$$\Omega=\{(x_{1},\cdots,x_{n-1}) : 0\leq x_{1}+\cdots+x_{n-1}\leq 1,x_{i}\geq 0\}$$
上的积分
$$\int_{\Omega}\sqrt{1+|\nabla u|^{2}}\,dx_{1} \cdots dx_{n-1}$$
然后 $\sqrt{1+|\nabla u|^{2}}=\sqrt{n}$
最终化为 $n-1$ 重积分
$$\int_{\Omega}1\,dx$$
容易化最后这个重积分为累次积分,算出 $\frac{1}{(n-1)!}$ 的这个结果。
原来积分的结果就是 $\frac{\sqrt{n}}{(n-1)!}$


由于一般的情形在 $\alpha=2$ 的情形的一种方法是考虑积分
$$\int_{\mathbb{R}^{n}}e^{-x_{1}^2-\cdots -x_{n}^2}\,dx$$
是否该考虑把 $2$ 换成 $\alpha$ 呢?
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 楼主| 发表于 2013-3-8 22:05:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 herbertfederer 于 2013-3-8 22:31 编辑

2.121 其实很简单,用球坐标变换。
稍微一般的结果也容易求
$$\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{1}{(1+|x|^{2})^{p}}\,dx$$
等于
$$n\omega_{n}\int_{0}^{+\infty}\frac{r^{n-1}}{(1+r^{2})^{p}}\,dr$$
其中 $\omega_{n}=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$,那个无穷积分等于
$$\frac{\Gamma(\frac{n}{2})\Gamma(p-\frac{n}{2})}{2\Gamma(p)}$$

点评

看错了。不好意思。  发表于 2013-3-8 23:14
$\Bbb{R}^n$表示的是$n$维球体?为啥不用$\Bbb{S}^n$表示呢?  发表于 2013-3-8 23:13
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发表于 2013-3-8 23:07:11 来自手机 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2013-3-8 22:05
2.121 其实很简单,用球坐标变换。
稍微一般的结果也容易求
$$\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{1}{(1+|x|^{2})^ ...

能把你的联系方式留给我吗?
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 楼主| 发表于 2013-3-9 07:16:23 | 显示全部楼层
kucotrey 发表于 2013-3-8 23:07
能把你的联系方式留给我吗?

QQ :  1410152167 或 454078309
邮箱 : cvgmt@163.comherbertfederer@163.com
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 楼主| 发表于 2013-3-9 07:48:10 | 显示全部楼层
herbertfederer 发表于 2013-3-8 22:05
2.121 其实很简单,用球坐标变换。
稍微一般的结果也容易求
$$\int_{\mathbb{R}^{n}}\frac{1}{(1+|x|^{2})^ ...

Bbb 可以表示空心字体?我试试
$$\Bbb{R}=\mathbb{R}?$$
另外,$p>\frac{n}{2}$
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发表于 2013-3-10 05:59:15 | 显示全部楼层
第二题吓吓人的,其实所谓的整数维Huasdorff 维数就是Lebesgue测度乘以一个常数,跟单位球有关,理由是两个测度都是平移不变的.实变的中简单的一个定理.可以从n=2,3 开始考虑,另外,第一题是偏微分方程中的一个很简单的例子,用的正是极坐标变换以及考虑欧拉积分贝塔积分等等即可算出的.
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 楼主| 发表于 2013-3-10 07:32:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 herbertfederer 于 2013-3-10 08:38 编辑
zhudemu_feng 发表于 2013-3-10 05:59
第二题吓吓人的,其实所谓的整数维Huasdorff 维数就是Lebesgue测度乘以一个常数,跟单位球有关,理由是两个测 ...


整数维 Hausdorff 测度并非 Lebesgue 测度乘以常数。
对 $\Bbb{R}^{n}$ 中的 $n$ 维 Hausdorff 测度,如果定义中有 $\omega_{n}$ 这个单位球体积的规范化因子,那么它等于 Lebesuge 测度。(证明这个并不是很容易的事情)(如果对其他定义,差一个常数因子)

如果对 $\Bbb{R}^{n}$ 的 $k<n$ 维 Huasdorff 测度,即使 $k$  为整数,也不能由 Lebesgure 测度表示。直观上看是 $k$ 维曲面面积的一个度量。
例如 $3$ 维欧氏空间中的 $2$ 维曲面,如果特别的,它还是参数曲面,那么它的参数范围是 $\Bbb{R}^2$ 中的一个比如长方形区域,这个时候,Hausdorff 测度可以利用这个参数区域中的 $2$ 维 Lebesgue 测度(或对应 Riemann 积分的 Jordan 测度)附上一个密度函数 $\sqrt{EG-F^2}$,即 Hausdorff 测度可以表示为
$$d\mathcal{H}^{2}=\sqrt{EG-F^2}dxdy=\sqrt{EG-F^2}\,d\mathcal{L}^2$$
这个是我们数学分析勉强可以处理的情形。

第二题你对 $\alpha\geq 1$ 的情形也作出来了吗? 请教一下。
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